1,0 Considere um feixe de luz monocromática de comprimento de onda lambda incidindo sobre uma fenda simples de largura a. O feixe de luz se propaga ao longo da direção x. Sobre um anteparo colocado a uma distância D da fenda, sendo D gg a, se observa o primeiro mínimo de intensidade de luz numa distância y em relação ao máximo central. Essa distância é tomada entre os centros das franjas consideradas. Mostre como podemos determinar a largura da fenda em função de lambda, D e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a luz se comporta quando passa por uma fenda estreita. A gente vai trabalhar com a difração da luz monocromática (uma só cor, ou seja, um só comprimento de onda lambda) que passa por uma fenda de largura a. Essa luz se propaga na direção x e chega num anteparo distante D (bem maior que a). O que queremos descobrir é como calcular a largura da fenda a usando o comprimento de onda lambda, a distância D e a posição y do primeiro mínimo de intensidade na tela. Vamos precisar usar conceitos de difração e um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a luz passa por uma fenda estreita, ela se espalha e forma um padrão de interferência na tela. Esse padrão tem um ponto central brilhante e pontos escuros chamados de mínimos de intensidade. O primeiro desses mínimos aparece na posição onde a luz interfere de forma destrutiva.

Passo 3

Para encontrar a posição desse primeiro mínimo, usamos a condição de mínimo para difração em fendas simples. A fórmula é:
a sin theta = m lambda
Aqui, a é a largura da fenda, theta é o ângulo em que o mínimo ocorre, m é a ordem do mínimo (no nosso caso, m = 1 para o primeiro mínimo) e lambda é o comprimento de onda da luz.

Passo 4

Como estamos considerando que a distância D é muito maior que a largura da fenda a ( D gg a), podemos usar uma aproximação trigonométrica: para ângulos pequenos, sin theta approx tan theta. E sabemos que tan theta é igual a y/D, onde y é a posição do mínimo na tela. Então, a equação fica:
a cdot yD = lambda

Passo 5

Agora, queremos encontrar a largura da fenda a. Para isso, isolamos a na equação:
a = lambda Dy

Resposta

A largura da fenda é dada por a = dfraclambda Dy.

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