Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo X: yl(x, t)=A cos [k(x-v t) ] e y2(x, t)=A cos [k(x+v t)+theta0]. Para cada valor de theta0 encontrado, escreva a função de onda total, y(x, t)= yl(x, t)+yz(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas ondas que estão se propagando ao longo de um fio esticado alinhado com o eixo X. As equações dessas ondas são:
y1(x, t) = A cos [k(x - vt)]
y2(x, t) = A cos [k(x + vt) + theta0]
Conteúdo da matéria: Superposição de ondas, ondas estacionárias e interferência.
O que vamos precisar para resolver:
  • Fórmulas de superposição de ondas.
  • Propriedades das funções trigonométricas, especialmente a soma de cossenos.
  • Entender o significado de cada parâmetro nas equações das ondas (amplitude A, número de onda k, velocidade v, e diferença de fase theta0).

Passo 2

Vamos começar somando as duas ondas para encontrar a onda total:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A cos [k(x - vt)] + A cos [k(x + vt) + theta0]
Aqui, estamos aplicando o princípio da superposição, que afirma que quando duas ondas se propagam no mesmo meio, a onda resultante é a soma das deformações individuais.

Passo 3

Para simplificar a soma de dois cossenos, podemos usar a fórmula de soma de cossenos:
cos alpha + cos beta = 2 cos ( alpha + beta2 ) cos ( alpha - beta2 )
Vamos identificar alpha e beta nas nossas equações:
alpha = k(x - vt)
beta = k(x + vt) + theta0

Passo 4

Aplicando a fórmula de soma de cossenos:
y(x, t) = 2A cos ( alpha + beta2 ) cos ( alpha - beta2 )
Substituindo alpha e beta:
y(x, t) = 2A cos ( k(x - vt) + k(x + vt) + theta02 ) cos ( k(x - vt) - [k(x + vt) + theta0]2 )

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, a parte dentro do primeiro cosseno:
k(x - vt) + k(x + vt) + theta02 = 2kx + theta02 = kx + theta02
Segundo, a parte dentro do segundo cosseno:
k(x - vt) - k(x + vt) - theta02 = -2kvt - theta02 = -kvt - theta02

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para $ y(x, t) $:
y(x, t)
Lembrando que y(x, t) = 2A cos ( kx + theta02 ) cos ( -kvt - theta02 ) , podemos simplificar:
cos(-theta) = cos(theta)

Passo 7

Portanto, a função de onda total é:
y(x, t) = 2A cos ( kx + theta02 ) cos ( kvt + theta02 )
Essa é a expressão geral da onda resultante para qualquer valor de theta0.

Resposta

A função de onda total é:
y(x, t) = 2A cos ( kx + theta02 ) cos ( kvt + theta02 )

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