Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo X: yl(x, t)=A cos [k(x-v t) ] e y2(x, t)=A cos [k(x+v t)+theta0]. Encontre os pontos do fio, que são sempre estacionários.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas ondas que estão se movendo ao longo de um fio esticado. A gente precisa encontrar os pontos no fio que são sempre estacionários, ou seja, pontos que não se movem nunca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas, superposição de ondas e interferência. Precisamos entender as equações das ondas dadas e ver onde elas se cancelam sempre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das duas ondas:
y1(x, t) = A cos [k(x - vt)]
y2(x, t) = A cos [k(x + vt) + theta0]
Aqui, $ A $ é a amplitude das ondas, $ k $ é o número de onda, $ v $ é a velocidade da onda, e $ \theta_{0} $ é uma fase inicial. A primeira onda $ y_{1} $ está se movendo para a direita, e a segunda onda $ y_{2} $ está se movendo para a esquerda.

Passo 3

Para encontrar os pontos que são sempre estacionários, precisamos somar as duas ondas e encontrar onde a soma é sempre zero:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A cos [k(x - vt)] + A cos [k(x + vt) + theta0]

Passo 4

Vamos usar a fórmula da soma de cossenos:
cos a + cos b = 2 cos ( a + b2 ) cos ( a - b2 )
Aplicando isso na nossa expressão para $ y(x, t) $:
y(x, t)

Passo 5

Simplificando as expressões dentro dos cossenos:
Para o primeiro cosseno:
k(x - vt) + k(x + vt) + theta02 = 2kx + theta02 = kx + theta02
Para o segundo cosseno:
k(x - vt) - k(x + vt) - theta02 = -2kvt - theta02 = -kvt - theta02
Então, a expressão para $ y(x, t) $ fica:
y(x, t)
Como $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, podemos reescrever:
y(x, t) = 2A cos ( kx + theta02 ) cos ( -kvt - theta02 )

Passo 6

Para que o ponto $ x $ seja sempre estacionário, a amplitude da oscilação deve ser zero para todo $ t $. Isso acontece quando o primeiro cosseno é zero:
x

Passo 7

Sabemos que o cosseno é zero quando seu argumento é um múltiplo ímpar de $ \frac{\pi}{2} $:
pi2

Passo 8

Agora, resolvendo para $ x $:
x
kx = ( n + 12 ) pi - theta02

Passo 9

Simplificando a expressão final para $ x $:
x

Resposta

Os pontos do fio que são sempre estacionários estão localizados em:
x = (2n + 1)pi - theta02k, onde n é um número inteiro éú

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