Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo
e
. Encontre os pontos do fio, que são sempre estacionários.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas ondas que estão se movendo ao longo de um fio esticado. A gente precisa encontrar os pontos no fio que são sempre estacionários, ou seja, pontos que não se movem nunca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas, superposição de ondas e interferência. Precisamos entender as equações das ondas dadas e ver onde elas se cancelam sempre.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das duas ondas:
Aqui, $ A $ é a amplitude das ondas, $ k $ é o número de onda, $ v $ é a velocidade da onda, e $ \theta_{0} $ é uma fase inicial. A primeira onda $ y_{1} $ está se movendo para a direita, e a segunda onda $ y_{2} $ está se movendo para a esquerda.
Passo 3
Para encontrar os pontos que são sempre estacionários, precisamos somar as duas ondas e encontrar onde a soma é sempre zero:
Passo 4
Vamos usar a fórmula da soma de cossenos:
Aplicando isso na nossa expressão para $ y(x, t) $:
Passo 5
Simplificando as expressões dentro dos cossenos:
Para o primeiro cosseno:
Para o segundo cosseno:
Então, a expressão para $ y(x, t) $ fica:
Como $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, podemos reescrever:
Passo 6
Para que o ponto $ x $ seja sempre estacionário, a amplitude da oscilação deve ser zero para todo $ t $. Isso acontece quando o primeiro cosseno é zero:
Passo 7
Sabemos que o cosseno é zero quando seu argumento é um múltiplo ímpar de $ \frac{\pi}{2} $:
Passo 8
Agora, resolvendo para $ x $:
Passo 9
Simplificando a expressão final para $ x $:
Resposta
Os pontos do fio que são sempre estacionários estão localizados em: