Considere um feixe um feixe de múons (partículas
) observado em raios cósmicos com velocidade 0,992c. A fração de múons que sobrevive após decaimento radioativo é calculada pela equação
e
sendo o tempo de meia-vida. No caso de partículas
. Após um percurso de 1920 m , determine o tempo próprio no referencial das partículas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um feixe de múons viajando a uma velocidade de 0,992 vezes a velocidade da luz (0,992c) por uma distância de 1920 metros. A questão quer saber qual é o tempo próprio, ou seja, o tempo que passa no referencial das partículas (nos múons). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de física de partículas, especialmente sobre dilatação do tempo e decaimento radioativo, usando as fórmulas que envolvem a meia-vida das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que os múons levam para percorrer os 1920 metros no referencial da Terra. Sabemos que a velocidade é 0,992c, onde $ c = 3 \times 10^8 , m/s $. Então, o tempo $ t $ no referencial da Terra é:
Passo 3
Calculando isso:
Então, no referencial da Terra, os múons levam aproximadamente $ 6,45 \times 10^{-6} $ segundos para percorrer os 1920 metros.
Passo 4
Agora, para encontrar o tempo próprio $ t’ $ no referencial dos múons, precisamos considerar a dilatação do tempo da Teoria da Relatividade de Einstein. A relação entre os tempos nos dois referenciais é dada por:
onde $ \gamma $ é o fator de Lorentz, calculado por:
Passo 5
Calculando $ \gamma $:
Passo 6
Agora, usando o valor de $ \gamma $ para encontrar o tempo próprio $ t’ $:
Resposta
O tempo próprio no referencial das partículas é aproximadamente $ 8,15 \times 10^{-7} $ segundos.