Parte da matéria que circunda um buraco negro no centro de uma galáxia chegzao espaço intergaláctico em jatos de alta velocidad mitind radiação com frequência de 5,55 times 10^13 Hz (região do infravermelho) no referencial que se move em direção à Terra. Por outro lato, no referencial do laboratório na Terra, ebservamos uma luz azulada com frequência de 6.66 times 10^21 Hz . Determine a velocidade com a qual a fonte de radiação está se movendo e o seu movimento (afastando-se ou aproximando-se) em relação à Terra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um buraco negro no centro de uma galáxia que está emitindo jatos de alta velocidade em direção à Terra. No referencial que se move com a fonte (o buraco negro), a frequência da radiação emitida é de 5,55 times 10^13 Hz, que está na região do infravermelho. Porém, na Terra, no referencial do laboratório, observamos essa mesma radiação como luz azulada, com frequência de 6,66 times 10^21 Hz. Nosso objetivo é descobrir a velocidade com que essa fonte de radiação está se movendo em relação à Terra e se ela está se aproximando ou se afastando de nós.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com o efeito Doppler relativístico, que descreve como a frequência da luz muda quando a fonte está se movendo em relação ao observador. Quando a fonte se aproxima, a frequência observada aumenta (desvio para o azul), e quando se afasta, a frequência observada diminui (desvio para o vermelho).
A fórmula do efeito Doppler relativístico para uma fonte que se move diretamente em relação ao observador é:
f' = f raiz1 + beta1 - beta
Onde:
  • f' é a frequência observada na Terra.
  • f é a frequência emitida pela fonte.
  • beta = vc, sendo v a velocidade da fonte e c a velocidade da luz.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a velocidade v, então vamos rearranjar a fórmula para resolver beta:
f'f = raiz1 + beta1 - beta
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(f'f)^2 = 1 + beta1 - beta

Passo 4

Agora, vamos chamar (f'f)^2 de R para simplificar a equação:
R = 1 + beta1 - beta
Multiplicando ambos os lados por (1 - beta):
R (1 - beta) = 1 + beta
Distribuindo o R:
R - R beta = 1 + beta

Passo 5

Vamos reunir os termos com beta de um lado e os demais do outro:
R - 1 = R beta + beta
Fatorando beta:
R - 1 = beta (R + 1)
Finalmente, isolando beta:
beta = R - 1R + 1

Passo 6

Lembrando que R = (f'f)^2, vamos calcular:
R = (6,66 times 10^215,55 times 10^13)^2
Calculando a razão das frequências:
6,66 times 10^215,55 times 10^13 approx 1,2 times 10^8
Então:
R = (1,2 times 10^8)^2 = 1,44 times 10^16

Passo 7

Agora, substituímos R na fórmula de beta:
beta = 1,44 times 10^16 - 11,44 times 10^16 + 1 approx 1,44 times 10^161,44 times 10^16 = 1
Isso significa que beta approx 1, ou seja, v approx c.

Passo 8

Interpretando o resultado, beta approx 1 indica que a velocidade da fonte é praticamente igual à velocidade da luz. Como a frequência observada é maior que a emitida, isso sugere que a fonte está se movendo em direção à Terra, causando um desvio para o azul.

Resposta

A fonte de radiação está se movendo em direção à Terra com uma velocidade aproximadamente igual à da luz, isto é, v approx c, e está se aproximando da Terra.

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