Parte da matéria que circunda um buraco negro no centro de uma galáxia chegzao espaço intergaláctico em jatos de alta velocidad mitind radiação com frequência de
(região do infravermelho) no referencial que se move em direção à Terra. Por outro lato, no referencial do laboratório na Terra, ebservamos uma luz azulada com frequência de
Hz . Determine a velocidade com a qual a fonte de radiação está se movendo e o seu movimento (afastando-se ou aproximando-se) em relação à Terra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um buraco negro no centro de uma galáxia que está emitindo jatos de alta velocidade em direção à Terra. No referencial que se move com a fonte (o buraco negro), a frequência da radiação emitida é de
, que está na região do infravermelho. Porém, na Terra, no referencial do laboratório, observamos essa mesma radiação como luz azulada, com frequência de
. Nosso objetivo é descobrir a velocidade com que essa fonte de radiação está se movendo em relação à Terra e se ela está se aproximando ou se afastando de nós.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com o efeito Doppler relativístico, que descreve como a frequência da luz muda quando a fonte está se movendo em relação ao observador. Quando a fonte se aproxima, a frequência observada aumenta (desvio para o azul), e quando se afasta, a frequência observada diminui (desvio para o vermelho).
A fórmula do efeito Doppler relativístico para uma fonte que se move diretamente em relação ao observador é:
Onde:
-
é a frequência observada na Terra. -
é a frequência emitida pela fonte. -
, sendo a velocidade da fonte e a velocidade da luz.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a velocidade
, então vamos rearranjar a fórmula para resolver
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Agora, vamos chamar
de
para simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Passo 5
Vamos reunir os termos com
de um lado e os demais do outro:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Lembrando que
, vamos calcular:
Calculando a razão das frequências:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula de
:
Isso significa que
, ou seja,
.
Passo 8
Interpretando o resultado,
indica que a velocidade da fonte é praticamente igual à velocidade da luz. Como a frequência observada é maior que a emitida, isso sugere que a fonte está se movendo em direção à Terra, causando um desvio para o azul.
Resposta
A fonte de radiação está se movendo em direção à Terra com uma velocidade aproximadamente igual à da luz, isto é,
, e está se aproximando da Terra.