Dada a forma adimensional da função potencial de velocidade, abaixo
phi(x, y, t)=-g Aomega cosh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
Fazer os gráficos do campo de velocidades
para os instantes de tempo t=T / 4, t=T / 2, t=3 T / 4 e t=T, sabendo que T=2 pi. Considere o domínio delimitado por 0 <= x <= 2 pi e 0 <= y <=-h e os valores para k=1, g=1, A=1, h=pi / 2 e omega=1. Divida o domínio de interesse em no mínimo 16 partes iguais tanto na direção do eixo X como no eixo Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre função potencial de velocidade em um fluido. A gente precisa entender como essa função se comporta ao longo do tempo e espaço para fazer os gráficos do campo de velocidades em momentos específicos. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial para encontrar as componentes do campo de velocidade a partir da função potencial fornecida. Também vamos precisar dividir o domínio em uma malha de pontos para plotar os gráficos nas posições desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, em fluidos, o campo de velocidade v pode ser obtido a partir da função potencial phi(x, y, t) pelas derivadas parciais:
u = partial phipartial x e v = partial phipartial y
Aqui, u é a componente na direção x e v na direção y.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de phi em relação a x:
phi(x, y, t) = -g Aomega cosh [k(y + h)]cosh (k h) cos (k x - omega t)
Derivando em relação a x:
u = partial phipartial x = g Aomega cosh [k(y + h)]cosh (k h) cdot k sin (k x - omega t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de phi em relação a y:
v = partial phipartial y = -g Aomega k sinh [k(y + h)]cosh (k h) cos (k x - omega t)

Passo 5

Vamos substituir os valores fornecidos no problema: k = 1, g = 1, A = 1, h = pi2 e omega = 1. Assim, as expressões simplificam para:
u = 1 cdot 11 cosh (y + pi2)cosh (pi2) cdot 1 cdot sin (x - t) = cosh (y + pi2)cosh (pi2) sin (x - t)
v = -1 cdot 11 1 cdot sinh (y + pi2)cosh (pi2) cos (x - t) = -sinh (y + pi2)cosh (pi2) cos (x - t)

Passo 6

Agora, vamos definir os instantes de tempo para os quais precisamos fazer os gráficos: t = T4, t = T2, t = 3T4 e t = T, onde T = 2pi.
Calculando cada instante:
t1 = 2pi4 = pi2
t2 = 2pi2 = pi
t3 = 3 cdot 2pi4 = 3pi2
t4 = 2pi

Passo 7

Vamos dividir o domínio 0 <= x <= 2pi e 0 <= y <= -pi2 em pelo menos 16 partes iguais em cada direção. Isso significa que teremos uma malha de 17 times 17 pontos (incluindo os limites).
Os passos para cada direção serão:
De
De
Assim, os pontos xi serão 0, pi8, pi4, dots, 2pi e os pontos yj serão 0, -pi32, -pi16, dots, -pi2.

Passo 8

Para cada instante de tempo tk e para cada par (xi, yj), vamos calcular as componentes u e v usando as equações simplificadas:
ui,j = cosh (yj + pi2)cosh (pi2) sin (xi - tk)
vi,j = -sinh (yj + pi2)cosh (pi2) cos (xi - tk)

Passo 9

Com os valores de ui,j e vi,j calculados para todos os pontos da malha e para cada instante de tempo, podemos plotar os campos de velocidades usando softwares de visualização como MATLAB, Python (com matplotlib) ou outros programas de gráficos científicos.
Cada gráfico mostrará vetores de velocidade v = (u, v) nas posições (xi, yj) para o respectivo instante tk.

Resposta

Ao seguir os passos acima, calcularíamos as componentes do campo de velocidades u e v para cada ponto da malha nos instantes t = pi2, t = pi, t = 3pi2 e t = 2pi. Com esses valores, os gráficos dos campos de velocidades podem ser construídos, ilustrando como o fluxo do fluido varia ao longo do tempo dentro do domínio especificado.

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