Dada a forma adimensional da função potencial de velocidade, abaixo
Fazer os gráficos do campo de velocidades
para os instantes de tempo
e
, sabendo que
. Considere o domínio delimitado por
e
e os valores para
,
e
. Divida o domínio de interesse em no mínimo 16 partes iguais tanto na direção do eixo
como no eixo
.
para os instantes de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre função potencial de velocidade em um fluido. A gente precisa entender como essa função se comporta ao longo do tempo e espaço para fazer os gráficos do campo de velocidades em momentos específicos. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial para encontrar as componentes do campo de velocidade a partir da função potencial fornecida. Também vamos precisar dividir o domínio em uma malha de pontos para plotar os gráficos nas posições desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, em fluidos, o campo de velocidade
pode ser obtido a partir da função potencial
pelas derivadas parciais:
Aqui,
é a componente na direção
e
na direção
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir os valores fornecidos no problema:
,
,
,
e
. Assim, as expressões simplificam para:
Passo 6
Agora, vamos definir os instantes de tempo para os quais precisamos fazer os gráficos:
,
,
e
, onde
.
Calculando cada instante:
Passo 7
Vamos dividir o domínio
e
em pelo menos 16 partes iguais em cada direção. Isso significa que teremos uma malha de
pontos (incluindo os limites).
Os passos para cada direção serão:
Assim, os pontos
serão
e os pontos
serão
.
Passo 8
Para cada instante de tempo
e para cada par
, vamos calcular as componentes
e
usando as equações simplificadas:
Passo 9
Com os valores de
e
calculados para todos os pontos da malha e para cada instante de tempo, podemos plotar os campos de velocidades usando softwares de visualização como MATLAB, Python (com matplotlib) ou outros programas de gráficos científicos.
Cada gráfico mostrará vetores de velocidade
nas posições
para o respectivo instante
.
Resposta
Ao seguir os passos acima, calcularíamos as componentes do campo de velocidades
e
para cada ponto da malha nos instantes
,
,
e
. Com esses valores, os gráficos dos campos de velocidades podem ser construídos, ilustrando como o fluxo do fluido varia ao longo do tempo dentro do domínio especificado.