Considere um fio cilíndrico infinito de raio
. Neste cilindro, existem quatro regiōes com diferentes distribuições de corrente:
i) Na superfície do cilindro, sobre o raio
, há uma densidade de corrente superficial constante,
, que circula ao longo da superfície do cilindro;
ii) entre os raios
e
, com
, há uma densidade de corrente volumétrica constante,
;
iii) sobre a superfície de raio
há uma densidade de corrente superficial constante,
, que circula ao longo da superfície;
iv) dentro da região de raio
não há corrente.
Determine o campo magnético em todas as regiões deste fio cilíndrico. (
)
i) Na superfície do cilindro, sobre o raio
ii) entre os raios
iii) sobre a superfície de raio
iv) dentro da região de raio
Passo 1
O enunciado descreve um fio cilíndrico infinito com raio externo
e um “furo” interno de raio
(sendo
). Há três fontes de corrente:
- corrente superficial na face interna
de densidade (A/m); - corrente volumétrica na casca
de densidade (A/ ); - corrente superficial na face externa
de densidade (A/m).
No interior denão há corrente. Precisamos determinar o campo magnético em função de usando a lei de Ampère:
Passo 2
Por simetria cilíndrica o campo magnético é sempre tangencial ao círculo de raio
, ou seja
, e só depende de
. Para um caminho amperiano circular de raio
,
Passo 3
Região I:
.
Nenhuma corrente está contida em , pois a corrente superficial interna está em
e
atua só para
. Logo
e
Nenhuma corrente está contida em
Passo 4
Região II:
.
As correntes contidas dentro do círculo de raio são:
As correntes contidas dentro do círculo de raio
- a corrente superficial interna em
, cujo total por comprimento unitário é
- mais a corrente volumétrica entre
e , que por unidade de comprimento vale
Então
e pela lei de Ampère
Simplificando,
Passo 5
Região III:
.
Agora o amperiano engloba todas as correntes, inclusive a superficial externa em . Além dos termos de
e do volume
, soma-se
Agora o amperiano engloba todas as correntes, inclusive a superficial externa em
Logo o total é
e
isto é
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: