Considere um fio cilíndrico infinito de raio a. Neste cilindro, existem quatro regiōes com diferentes distribuições de corrente:
i) Na superfície do cilindro, sobre o raio a, há uma densidade de corrente superficial constante, K_{1}, que circula ao longo da superfície do cilindro;
ii) entre os raios a e b, com b<a, há uma densidade de corrente volumétrica constante, J_{1};
iii) sobre a superfície de raio b há uma densidade de corrente superficial constante, K_{2}, que circula ao longo da superfície;
iv) dentro da região de raio b não há corrente.
Determine o campo magnético em todas as regiões deste fio cilíndrico. ( 4,0 \mathrm{p} )

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico infinito com raio externo a e um “furo” interno de raio b (sendo b<a). Há três fontes de corrente:
  1. corrente superficial na face interna r=b de densidade K_{2} (A/m);
  2. corrente volumétrica na casca b<r<a de densidade J_{1} (A/ m^{2});
  3. corrente superficial na face externa r=a de densidade K_{1} (A/m).
    No interior de r<b não há corrente. Precisamos determinar o campo magnético \mathbf{B}(r) em função de r usando a lei de Ampère:
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}}.

Passo 2

Por simetria cilíndrica o campo magnético é sempre tangencial ao círculo de raio r, ou seja \mathbf{B}(r)=B_{\varphi}(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, e só depende de r. Para um caminho amperiano circular de raio r,
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\; B_{\varphi}(r)\,(2\pi r).

Passo 3

Região I: 0\le r<b.
Nenhuma corrente está contida em r<b, pois a corrente superficial interna está em r=b e J_{1} atua só para r>b. Logo I_{\rm enc}=0 e
B_{\varphi}(r)=0\quad(\,r<b\,).

Passo 4

Região II: b<r<a.
As correntes contidas dentro do círculo de raio r são:
  • a corrente superficial interna em r=b, cujo total por comprimento unitário é
I_{K_{2}} = K_{2}\,\bigl(2\pi b\bigr),
  • mais a corrente volumétrica entre b e r, que por unidade de comprimento vale
I_{J} = \int_{b}^{r} J_{1}\,(2\pi r')\,dr' = J_{1}\,\pi\bigl(r^{2}-b^{2}\bigr).
Então
I_{\rm enc} = 2\pi b\,K_{2} \;+\; \pi J_{1}\bigl(r^{2}-b^{2}\bigr),
e pela lei de Ampère
B_{\varphi}(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}I_{\rm enc} \quad\Longrightarrow\quad B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\Bigl[2\pi b\,K_{2}+\pi J_{1}(r^{2}-b^{2})\Bigr].
Simplificando,
B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{r}\Bigl[b\,K_{2}+\tfrac{J_{1}}{2}\bigl(r^{2}-b^{2}\bigr)\Bigr] \quad(b<r<a).

Passo 5

Região III: r>a.
Agora o amperiano engloba todas as correntes, inclusive a superficial externa em r=a. Além dos termos de r=b e do volume b<r<a, soma-se
I_{K_{1}} = K_{1}\,\bigl(2\pi a\bigr).
Logo o total é
I_{\rm enc} =2\pi b\,K_{2} +\pi J_{1}(a^{2}-b^{2}) +2\pi a\,K_{1},
e
B_{\varphi}(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}I_{\rm enc} \quad\Longrightarrow\quad B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\Bigl[2\pi b\,K_{2}+\pi J_{1}(a^{2}-b^{2})+2\pi a\,K_{1}\Bigr],
isto é
B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{r}\Bigl[b\,K_{2}+\tfrac{J_{1}}{2}(a^{2}-b^{2})+a\,K_{1}\Bigr] \quad(r>a).

Resposta

Para r<b:
B_{\varphi}(r)=0.
Para b<r<a:
B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{r}\Bigl[b\,K_{2}+\tfrac{J_{1}}{2}\bigl(r^{2}-b^{2}\bigr)\Bigr].
Para r>a:
B_{\varphi}(r) =\frac{\mu_{0}}{r}\Bigl[b\,K_{2}+\tfrac{J_{1}}{2}(a^{2}-b^{2})+a\,K_{1}\Bigr].

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