Considere que, em relação ao ar, um microfone está parado e uma caixa de som se move com velocidade v_{\text {caixa }}. A caixa de emite um som de frequência f_{\text {caixa }} que pode ser variada. Devido ao movimento da caixa, o microfone detecta uma frequência f_{\text {mic }} tal que f_{\text {mic }}=\frac{2}{3} f_{\text {caix } a}.
(a) A caixa de som está se afastando ou se aproximando do microfone? Justifique sua resposta.
(b) Determine a velocidade v_{\text {caix } a}.

Passo 1

O enunciado descreve um microfone parado no ar e uma caixa de som em movimento com velocidade \;v_{\text{caixa}}. A caixa emite uma frequência \;f_{\text{caixa}} e o microfone detecta \;f_{\text{mic}} = \tfrac{2}{3}f_{\text{caixa}}. Pergunta-se:
(a) a caixa está se afastando ou se aproximando?
(b) qual é o valor de \;v_{\text{caixa}}?
Conteúdo necessário: efeito Doppler para fonte móvel e observador estacionário, cuja fórmula é
f_{\text{mic}} = f_{\text{caixa}}\;\frac{c}{c \pm v_{\text{caixa}}},
onde c é a velocidade do som no ar.

Passo 2

Para (a), note que a frequência percebida é menor que a emitida \;f_{\text{mic}}<f_{\text{caixa}}. No efeito Doppler, isso ocorre quando a fonte se afasta do observador, pois as cristas das ondas ficam mais espaçadas. Logo, a caixa está se afastando do microfone.

Passo 3

Para (b), usamos a fórmula do efeito Doppler com a fonte se afastando (sinal “+” no denominador):
f_{\text{mic}} = f_{\text{caixa}}\;\frac{c}{c + v_{\text{caixa}}}.
Dividindo ambos os lados por f_{\text{caixa}} e substituindo \;f_{\text{mic}}/f_{\text{caixa}}=2/3, obtemos
\frac{2}{3} = \frac{c}{c + v_{\text{caixa}}}.
Multiplicando em cruz:
2\,(c + v_{\text{caixa}})=3c \quad\Longrightarrow\quad 2c + 2\,v_{\text{caixa}} = 3c \quad\Longrightarrow\quad 2\,v_{\text{caixa}} = c \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{caixa}} = \frac{c}{2}.
Substituindo c\approx340\,\text{m/s}, vem
v_{\text{caixa}}\approx170\,\text{m/s}.

Resposta

(a) A caixa está se afastando do microfone, pois \;f_{\text{mic}}<f_{\text{caixa}}.
(b) \;v_{\text{caixa}} = \frac{c}{2} (aproximadamente 170\,\text{m/s} para c\approx340\,\text{m/s}).

Exercícios relacionados