Considere um fio infinito e uma espira retangular, de lados com tamanhos a e b, posicionados a uma distância c um do outro. Considere que há uma corrente \vec{I}=I \hat{y} no fio infinito. A espira é composta por um material elástico que permite sua deformação em qualquer direção.
Determine a força eletromotriz gerada na espira, considerando que seu tamanho perpendicular à direção da corrente do fio é modificado no tempo segundo a equação x(t)=b \operatorname{sech}\left(\frac{t}{\tau}\right), onde x(t) representa o comprimento da espira. Qual a corrente induzida na espira pelo fio, se sua resistência é R ? Qual é a direção da corrente?

Passo 1

O problema envolve um fio infinito, percorrido por uma corrente \vec I = I\,\hat y, e uma espira retangular de lados a (paralelo à corrente) e x(t) (perpendicular à corrente), a uma distância fixa c do fio. A espira é elástica e seu lado perpendicular varia segundo
x(t)=b\,\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr).
Queremos a fem induzida na espira e a corrente resultante (resistência R), usando as leis do campo magnético de um fio e a lei de Faraday–Lenz.

Passo 2

O campo magnético de um fio retilíneo infinito, à distância r do fio, tem módulo
B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}
e direção tangencial (circula em torno do fio). A espira está num plano (x,y) com vetor normal \hat z, de modo que somente a componente de B perpendicular a esse plano contribui para o fluxo.

Passo 3

O fluxo magnético pela espira é
\Phi(t)=\int_{y=0}^{a}\!\int_{r=c}^{c+x(t)} \!B(r)\,dr\,dy =a\int_{c}^{c+x(t)}\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,r}\,dr =\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\ln\!\frac{c+x(t)}{c}.
Note que, conforme o sentido de B, esse fluxo é negativo, mas aqui usamos o valor algébrico da integral.

Passo 4

Pela lei de Faraday, a fem induzida é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\,\frac{d}{dt}\!\Bigl[\ln(c+x(t))\Bigr] =-\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\,\frac{x'(t)}{c+x(t)}.

Passo 5

Como
x(t)=b\,\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr), \quad x'(t)=-\frac b\tau\,\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr),
temos
\mathcal{E}(t) =-\frac{\mu_{0}I\,a}{2\pi}\, \frac{-\frac b\tau\,\sech(\tfrac t\tau)\operatorname{tanh}(\tfrac t\tau)}{c + b\,\sech(\tfrac t\tau)} =\frac{\mu_{0}I\,a\,b}{2\pi\,\tau}\, \frac{\sech(\tfrac t\tau)\,\operatorname{tanh}(\tfrac t\tau)}{c + b\,\sech(\tfrac t\tau)}.

Passo 6

A corrente induzida na espira vale
I_{\text{ind}}(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R} =\frac{\mu_{0}I\,a\,b}{2\pi\,R\,\tau}\, \frac{\sech(\tfrac t\tau)\,\operatorname{tanh}(\tfrac t\tau)}{c + b\,\sech(\tfrac t\tau)}.
Pela lei de Lenz, essa corrente cria um campo que se opõe à diminuição do fluxo (o fluxo original é para dentro do plano e está diminuindo), portanto a corrente induzida circula de modo a reforçar esse fluxo para dentro. Usando a regra da mão direita, isso corresponde a uma corrente horária quando vista de cima (do lado positivo de z).

Resposta

\displaystyle \mathcal{E}(t) =\frac{\mu_{0}I\,a\,b}{2\pi\,\tau}\, \frac{\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)} {c + b\,\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)}, \displaystyle I_{\mathrm{ind}}(t) =\frac{\mu_{0}I\,a\,b}{2\pi\,R\,\tau}\, \frac{\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)} {c + b\,\sech\!\bigl(\tfrac t\tau\bigr)},
direção da corrente: horária (quando vista pela face positiva de z).

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