Considere um tubo de 2,0 \mathrm{~m} de comprimento aberto nas duas extremidades. Supondo que a velocidade do som no ar é v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, faça o que é pedido abaixo.
(a) Determine a frequência do modo fundamental de oscilação do ar no interior do tubo.
(b) Escreva as frequências do segundo e do terceiro harmônicos.
(c) Se o ar no interior do tubo estiver oscilando em um modo cujo nó de vibração mais próximo da extremidade esquerda do tubo encontra-se a uma distância de 0,5 \mathrm{~m} daquela extremidade, qual o valor do número harmônico n deste modo?

Passo 1

O enunciado descreve um tubo de L=2,0\\ \mathrm{m} aberto em ambas as extremidades e diz que a velocidade do som é v=340\\ \mathrm{m/s}. Precisamos:
  1. Calcular a frequência do modo fundamental.
  2. Obter os segundo e terceiro harmônicos.
  3. Encontrar o número harmônico n quando o nó mais próximo da extremidade esquerda está a 0,5\\ \mathrm{m} dela.

Passo 2

Em um tubo aberto nas duas extremidades, o modo fundamental tem comprimento de onda \lambda_1=2L e frequência
f_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{v}{2L}.
Substituindo v=340\\ \mathrm{m/s} e L=2{,}0\\ \mathrm{m}:
f_1=\frac{340}{2\cdot2{,}0}= \frac{340}{4}=85\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Os harmônicos de um tubo aberto-em-aberto obedecem \displaystyle f_n=n\,f_1. Logo:
f_2 = 2\cdot85 = 170\\ \mathrm{Hz},
f_3 = 3\cdot85 = 255\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Em qualquer harmônico n, as posições dos nós medem múltiplos de \lambda/2. O nó mais próximo da extremidade esquerda (excluindo a própria extremidade) corresponde a m=1, portanto
\frac{\lambda}{2} = 0{,}5\\ \mathrm{m} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
Num tubo aberto, \lambda_n=\frac{2L}{n}. Assim,
\frac{2L}{n}=1{,}0 \quad\Longrightarrow\quad n=\frac{2\cdot2{,}0}{1{,}0}=4.

Resposta

(a) 85\\ \mathrm{Hz}
(b) 170\\ \mathrm{Hz} e 255\\ \mathrm{Hz}
(c) n=4

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