Considere um fio cilíndrico longo de raio R e que conduz uma corrente I. Calcule os valores das constantes alpha, beta e do módulo do campo magnético gerado pela corrente I em todo o espaço quando a mesma está distribuida conforme as densidades de corrente: c) J=beta /(r^2+R^2), onde r é a distância ao eixo central do fio e alpha e beta são constantes.

Passo 1

O exercício diz o seguinte: temos um fio cilíndrico longo de raio R por onde passa uma corrente total I. A densidade de corrente (isto é, a corrente por área) varia com a distância r ao eixo segundo
J(r)=betar^2+R^2,
O que pedem é:
- Determinar a constante β de modo que, ao integrar J sobre toda a seção, a corrente total seja I.
- Calcular o módulo do campo magnético para todo r (dentro e fora do fio).
Matéria envolvida: magnetostática (densidade de corrente e lei de Ampère).
O que vamos usar:
  1. A definição de densidade de corrente em coordenadas cilíndricas, com .
  2. A lei de Ampère em forma integral, aproveitando a simetria cilíndrica:
    .

Passo 2

Calcular β impondo que a corrente total I=integral duplaseçãoJ(r),dA =integral0^Rbetar^2+R^2,(2pi r),dr seja
I=2pibetaintegral0^Rrr^2+R^2,dr çã
Vamos fazer essa integral passo a passo:
  1. Escreve a integral:
I=2pibetaintegralu=R^2^2R^21u,du2 =pibetal[ln ur]R^2^2R^2 =pibetal(ln(2R^2)-ln(R^2)r) =pibetaln2
  1. Substitui , então , isto é, .
  2. Os limites: quando , ; quando , .
  3. A integral vira
Portanto
[
\boxed{\beta=\frac{I}{\pi,\ln2}},.

Passo 3

Agora calculamos o campo magnético usando a lei de Ampère. Por simetria, oint Bcdot dboldsymbolell = B(r),(2pi r) = mu0,Irm enc(r) é tangencial e tem módulo Irm enc(r) =integral0^rbetar'^2+R^2,(2pi r'),dr' =2pibetaintegral0^rr'r'^2+R^2,dr' que só depende de r. Tomamos um caminho amperiano: círculo de raio r centrado no eixo. A lei de Ampère diz
Irm enc(r) =pibetaln!l(r^2+R^2R^2r)
Aqui B(r),2pi r =mu0,pibetaln!l(r^2+R^2R^2r) ;Longrightarrow; B(r) =mu0,pibeta2pi r, ln!l(r^2+R^2R^2r) =mu0,beta2,r, ln!l(r^2+R^2R^2r) é a corrente que fica dentro do raio r.
— Caso 1: r ≤ R (dentro do fio)
boxedB(r)=mu0,I2pi,r,ln2, ln!l(r^2+R^2R^2r), r<= R
Fazemos a mesma troca B(r),2pi r=mu0,I Longrightarrow boxedB(r)=mu0,I2pi,r, r>= R , e achamos
Logo
Substituindo , fica
— Caso 2: r ≥ R (fora do fio)
Toda a corrente I está dentro do círculo de raio r, então . Daí

Resposta

Constante
beta=Ipiln2
e campo magnético
B(r)= dfracmu0,I2pi,r,ln2,ln!l(r^2+R^2R^2r), & r<= R,[6pt] dfracmu0,I2pi,r, & r>= R

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