Considere um fio cilíndrico longo de raio R e que conduz uma corrente
. Calcule os valores das constantes
e do módulo do campo magnético gerado pela corrente
em todo o espaço quando a mesma está distribuida conforme as densidades de corrente: c)
, onde
é a distância ao eixo central do fio e
e
são constantes.
Passo 1
O exercício diz o seguinte: temos um fio cilíndrico longo de raio R por onde passa uma corrente total I. A densidade de corrente (isto é, a corrente por área) varia com a distância r ao eixo segundo
O que pedem é:
- Determinar a constante β de modo que, ao integrar J sobre toda a seção, a corrente total seja I.
- Calcular o módulo do campo magnético
Matéria envolvida: magnetostática (densidade de corrente e lei de Ampère).
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- A definição de densidade de corrente em coordenadas cilíndricas,
com . - A lei de Ampère em forma integral, aproveitando a simetria cilíndrica:
.
Passo 2
Calcular β impondo que a corrente total
seja
Vamos fazer essa integral passo a passo:
- Escreve a integral:
- Substitui
, então , isto é, . - Os limites: quando
, ; quando , . - A integral vira
Portanto
[
\boxed{\beta=\frac{I}{\pi,\ln2}},.
\boxed{\beta=\frac{I}{\pi,\ln2}},.
Passo 3
Agora calculamos o campo magnético usando a lei de Ampère. Por simetria,
é tangencial e tem módulo
que só depende de r. Tomamos um caminho amperiano: círculo de raio r centrado no eixo. A lei de Ampère diz
Aqui
é a corrente que fica dentro do raio r.
— Caso 1: r ≤ R (dentro do fio)
Fazemos a mesma troca
, e achamos
Logo
Substituindo
, fica
— Caso 2: r ≥ R (fora do fio)
Toda a corrente I está dentro do círculo de raio r, então . Daí
Toda a corrente I está dentro do círculo de raio r, então
Resposta
Constante
e campo magnético