Duas pessoas estão em um balão de ar quente que, devido a estranhas correntes de ar, está parado a uma altura
acima do solo. Para tentar sair dessa enrascada e pegar uma corrente de ar mais favorável, uma das pessoas lança um saco de areia de
a
para cima, ao mesmo tempo que a outra lança um segundo saco de areia de
a
para a direita. A massa do balão com as pessoas, após o lançamento dos sacos de areia, é de 500 kg .
Qual é a velocidade do balão com pessoas imediatamente após os lançamentos? Calcule seu módulo e sentido.
Qual é a velocidade do balão com pessoas imediatamente após os lançamentos? Calcule seu módulo e sentido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um balão de ar quente parado a uma altura $ h $ e duas pessoas dentro dele. Uma pessoa lança um saco de areia de $ 10,0 , kg $ para cima a uma velocidade de $ 5,0 , km/h $ e a outra lança um saco de $ 20,0 , kg $ para a direita a $ 4,0 , km/h $. Após esses lançamentos, a massa total do balão com as pessoas é de $ 500 , kg $. Queremos descobrir qual é a velocidade do balão imediatamente após os lançamentos, tanto o módulo quanto a direção.
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento. Basicamente, a quantidade de movimento inicial do sistema (balão + pessoas) é zero, já que ele estava parado. Depois dos lançamentos, o balão vai ganhar uma quantidade de movimento oposta à soma das quantidades de movimento dos sacos lançados.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades dos sacos de quilômetros por hora para metros por segundo, porque as unidades padrão no Sistema Internacional são mais fáceis de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de movimento (ou momento linear) de cada saco. A quantidade de movimento é dada por:
Para o saco lançado para cima:
Para o saco lançado para a direita:
Passo 4
A quantidade de movimento total ejetada pelos sacos são vetores, ou seja, têm direção e sentido. Vamos considerar o eixo $ x $ como a direção para a direita e o eixo $ y $ como a direção para cima.
Passo 5
Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento do balão após os lançamentos será igual e oposta à soma das quantidades de movimento dos sacos. Então:
Passo 6
Para encontrar a velocidade do balão, usamos a relação:
Onde $ m = 500 , kg $. Então:
O sinal negativo indica que a direção é oposta ao lançamento: para a esquerda e para baixo.
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo da velocidade do balão usando o teorema de Pitágoras:
Para a direção, calculamos o ângulo formado com o eixo $ x $:
Resposta
A velocidade do balão imediatamente após os lançamentos é de aproximadamente $ 0,052 , m/s $ na direção $ 32^\circ $ abaixo da esquerda do eixo horizontal.