Duas pessoas estão em um balão de ar quente que, devido a estranhas correntes de ar, está parado a uma altura h acima do solo. Para tentar sair dessa enrascada e pegar uma corrente de ar mais favorável, uma das pessoas lança um saco de areia de 10,0 kg a 5,0 km / h para cima, ao mesmo tempo que a outra lança um segundo saco de areia de 20,0 kg a 4,0 km / h para a direita. A massa do balão com as pessoas, após o lançamento dos sacos de areia, é de 500 kg .
Qual é a velocidade do balão com pessoas imediatamente após os lançamentos? Calcule seu módulo e sentido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um balão de ar quente parado a uma altura $ h $ e duas pessoas dentro dele. Uma pessoa lança um saco de areia de $ 10,0 , kg $ para cima a uma velocidade de $ 5,0 , km/h $ e a outra lança um saco de $ 20,0 , kg $ para a direita a $ 4,0 , km/h $. Após esses lançamentos, a massa total do balão com as pessoas é de $ 500 , kg $. Queremos descobrir qual é a velocidade do balão imediatamente após os lançamentos, tanto o módulo quanto a direção.
Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento. Basicamente, a quantidade de movimento inicial do sistema (balão + pessoas) é zero, já que ele estava parado. Depois dos lançamentos, o balão vai ganhar uma quantidade de movimento oposta à soma das quantidades de movimento dos sacos lançados.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades dos sacos de quilômetros por hora para metros por segundo, porque as unidades padrão no Sistema Internacional são mais fáceis de trabalhar.
5,0 , km/h &= 5,0 times 10003600 approx 1,3889 , m/s 4,0 , km/h &= 4,0 times 10003600 approx 1,1111 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de movimento (ou momento linear) de cada saco. A quantidade de movimento é dada por:
p = m times v
Para o saco lançado para cima:
p1 = 10,0 , kg times 1,3889 , m/s approx 13,89 , kg·m/s (para cima)
Para o saco lançado para a direita:
p2 = 20,0 , kg times 1,1111 , m/s approx 22,22 , kg·m/s (para a direita)

Passo 4

A quantidade de movimento total ejetada pelos sacos são vetores, ou seja, têm direção e sentido. Vamos considerar o eixo $ x $ como a direção para a direita e o eixo $ y $ como a direção para cima.
x

Passo 5

Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento do balão após os lançamentos será igual e oposta à soma das quantidades de movimento dos sacos. Então:
pbalãox &= -22,22 , kg·m/s pbalãoy &= -13,89 , kg·m/s ãã

Passo 6

Para encontrar a velocidade do balão, usamos a relação:
v = pm
Onde $ m = 500 , kg $. Então:
m = 500 , kg ãã
O sinal negativo indica que a direção é oposta ao lançamento: para a esquerda e para baixo.

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade do balão usando o teorema de Pitágoras:
v = raizvbalãox^2 + vbalãoy^2 = raiz(-0,04444)^2 + (-0,02778)^2 approx raiz0,001975 + 0,000772 approx raiz0,002747 approx 0,0524 , m/s ãã
Para a direção, calculamos o ângulo formado com o eixo $ x $:
x ãã

Resposta

A velocidade do balão imediatamente após os lançamentos é de aproximadamente $ 0,052 , m/s $ na direção $ 32^\circ $ abaixo da esquerda do eixo horizontal.

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