Uma partícula de carga q é posicionada no centro de uma casca cúbica de aresta a. Nessa situação, calcule:
(a) O fluxo de campo elétrico produzido por q sobre a superfície formada pela união das seis faces do cubo.
(b) O fluxo de campo elétrico produzido por q sobre uma das faces do cubo.
(c) A sua resposta dos itens anteriores seria alterada se a carga q estivesse posicionada em um ponto interno ao cubo, mas diferente do seu centro? Como? Explique.
Suponha agora que a carga q seja posicionada em um dos vértices do cubo.
(d) Qual é o fluxo de campo elétrico produzido por q sobre cada face do cubo?

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo elétrico de uma carga pontual q sobre a superfície de um cubo de aresta a. O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual a \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}, onde q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície. Vamos aplicar essa lei e, quando necessário, usar simetria para distribuir o fluxo entre as faces.

Passo 2

(a) Como a carga q está no centro do cubo, ela fica totalmente dentro da superfície. Pela Lei de Gauss, o fluxo total é
\Phi_{\text{total}} = \frac{q}{\varepsilon_0}.

Passo 3

(b) Ainda com q no centro, todas as seis faces veem o campo da mesma forma por simetria. Logo o fluxo em cada face é um sexto do total:
\Phi_{\text{face}} = \frac{1}{6}\,\Phi_{\text{total}} = \frac{1}{6}\,\frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{6\,\varepsilon_0}.

Passo 4

(c) Se a carga q ficar em qualquer outro ponto interno (fora do centro), o fluxo total continua igual, pois só importa a carga dentro da superfície. Ou seja,
\Phi_{\text{total}} = \frac{q}{\varepsilon_0}
independentemente da posição interna de q. O que muda é como esse fluxo se distribui entre as faces: perde-se a igualdade entre elas, mas a soma continua q/\varepsilon_0.

Passo 5

(d) Agora q está num vértice do cubo. Nesse caso, o cubo sozinho “vê” apenas \tfrac18 da carga (imagine montar 8 cubos idênticos para formar um cubo maior que tenha q no centro). Logo o fluxo total pelo cubo é
\Phi_{\text{total}}^{(\text{vértice})} = \frac{1}{8}\,\frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{8\,\varepsilon_0}.é

Passo 6

Ainda no vértice, pelo mesmo argumento de simetria entre faces que compartilham o vértice e as opostas, as três faces que contêm o vértice onde está q não recebem fluxo líquido \Phi=0, e as três faces opostas têm todas o mesmo fluxo. Chamando esse fluxo de \Phi_{\text{opp}}, vale
3\;\Phi_{\text{opp}} = \frac{q}{8\,\varepsilon_0},
daí
\Phi_{\text{opp}} = \frac{q}{24\,\varepsilon_0}.
Portanto, no caso do vértice, as três faces adjacentes a q têm fluxo zero e as três opostas têm \displaystyle \Phi = \frac{q}{24\,\varepsilon_0}.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi_{\text{total}}=\dfrac{q}{\varepsilon_0}.
(b) \displaystyle \Phi_{\text{face}}=\dfrac{q}{6\,\varepsilon_0}.
(c) O fluxo total continua \displaystyle q/\varepsilon_0, mas sem distribuição igual entre as faces.
(d) Três faces com o vértice carregado: \Phi=0. As três faces opostas: \displaystyle \Phi=\dfrac{q}{24\,\varepsilon_0}.

Exercícios relacionados