Em um oscilador amortecido, o bloco possui uma massa de 3,00 \mathrm{~kg} e a constante elástica é \mathrm{k}=8,00 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A força de amortecimento é dada por -\mathrm{b}(\mathrm{dx} / \mathrm{dt}), em que \mathrm{b}=460 \mathrm{~g} / \mathrm{s}. O bloco é puxado 12,0 \mathrm{~cm} para baixo e liberado.
[1,0](\mathrm{a}) Calcule a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 14,3 segundos.
[1,0](\mathrm{b}) Qual é a frequência angular do oscilador amortecido \mathrm{em} \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?
[0,5](\mathrm{c}) Qual é o período (\mathrm{T}) de uma oscilação em segundos?

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador amortecido com massa m=3{,}00\:\mathrm{kg}, constante elástica k=8{,}00\:\mathrm{N/m} e coeficiente de amortecimento b=460\:\mathrm{g/s}=0{,}460\:\mathrm{kg/s}. O bloco é deslocado A_0=12{,}0\:\mathrm{cm}=0{,}120\:\mathrm{m} e solto, e queremos:
– (a) a razão A(t)/A_0 após t=14{,}3\:\mathrm{s},
– (b) a frequência angular amortecida \omega,
– (c) o período T.
Para isso usamos que, em regime subamortecido, a amplitude decai como
A(t)=A_0\,e^{-\gamma t},
onde \displaystyle \gamma=\frac{b}{2m}, e que a frequência amortecida é
\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} \quad\text{com}\quad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\,.

Passo 2

Calcular o coeficiente de amortecimento \gamma.
\gamma=\frac{b}{2m} =\frac{0{,}460}{2\times3{,}00} =0{,}076667\:\mathrm{s^{-1}}.
Logo a amplitude decai segundo
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-\gamma t}\,.

Passo 3

Avaliar a razão após t=14{,}3\:\mathrm{s}:
\frac{A(14{,}3)}{A_0} =e^{-0{,}076667\times14{,}3} =e^{-1{,}0958} \approx0{,}334.

Passo 4

Determinar a frequência natural \omega_0 e a amortecida \omega:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{8{,}00}{3{,}00}} =1{,}633\:\mathrm{rad/s},
\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} =\sqrt{(1{,}633)^2-(0{,}076667)^2} \approx1{,}631\:\mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular o período T da oscilação amortecida:
T=\frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi}{1{,}631} \approx3{,}85\:\mathrm{s}.

Resposta

(a) A(t)/A_0\approx0{,}334
(b) \omega\approx1{,}63\:\mathrm{rad/s}
(c) T\approx3{,}85\:\mathrm{s}

Exercícios relacionados