A demanda por lâmpadas pode ser caracterizada por Q=100-p, onde cada unidade de Q mede um milhão de caixas de luzes vendidas e p é o preço por caixa. Existem dois produtores de luzes, Everglow e Dimlit, cujas funções de custo são idênticas C=10 qi+12 qi^2 e Q=q Everglow +q Dimlit .
Incapaz de reconhecer o potencial de conluio, as duas empresas atuam como concorrentes perfeitos de curto prazo. Quais são os valores de equilíbrio de q Everglow ^*, q Dimlit ^* e p^*? Quais são os lucros de cada empresa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre duas empresas que produzem lâmpadas: Everglow e Dimlit. A gente precisa encontrar o equilíbrio de produção de cada uma delas ( qEverglow^* e qDimlit^*), o preço de venda ( p^*) e os lucros de cada empresa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Economia de Mercado, especificamente modelo de concorrência de Cournot onde as empresas escolhem a quantidade para maximizar seus lucros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a demanda do mercado. A demanda é dada por:
Q = 100 - p
Aqui, Q é a quantidade total de lâmpadas vendidas (em milhões de caixas) e p é o preço por caixa. Como são duas empresas, a quantidade total Q é a soma das quantidades produzidas por cada uma:
Q = qEverglow + qDimlit

Passo 3

Agora, vamos olhar para as funções de custo das empresas. Ambas têm a mesma função de custo:
C = 10 qi + 12 qi^2
Isso significa que para produzir qi caixas, o custo total é 10 qi + 12 qi^2. O primeiro termo é o custo fixo e o segundo é o custo variável que aumenta com a quantidade produzida.

Passo 4

Para encontrar o equilíbrio, cada empresa vai escolher sua quantidade de produção de forma que maximize seu lucro, assumindo que a produção da outra empresa é constante. O lucro de cada empresa é dado por:
pii = p cdot qi - Ci
Substituindo a função de demanda na fórmula do lucro:
pii = (100 - Q) qi - (10 qi + 12 qi^2)
Como Q = qEverglow + qDimlit, podemos reescrever o lucro para a Everglow:
piEverglow = (100 - qEverglow - qDimlit) qEverglow - 10 qEverglow - 12 qEverglow^2

Passo 5

Para maximizar o lucro, derivamos piEverglow em relação a qEverglow e igualamos a zero:
dpiEverglowdqEverglow = 100 - 2 qEverglow - qDimlit - 10 - qEverglow = 0
Simplificando:
90 - 3 qEverglow - qDimlit = 0
Essa é a função de reação da Everglow, que mostra como a Everglow reage à produção da Dimlit.

Passo 6

Fazemos o mesmo para a Dimlit. A função de lucro da Dimlit é:
piDimlit = (100 - qEverglow - qDimlit) qDimlit - 10 qDimlit - 12 qDimlit^2
Derivando em relação a qDimlit e igualando a zero:
dpiDimlitdqDimlit = 100 - qEverglow - 2 qDimlit - 10 - qDimlit = 0
Simplificando:
90 - qEverglow - 3 qDimlit = 0
Essa é a função de reação da Dimlit.

Passo 7

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
  1. 90 - 3 qEverglow - qDimlit = 0
  2. 90 - qEverglow - 3 qDimlit = 0
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
3 qEverglow + qDimlit = 90 (1)
Da segunda equação:
qEverglow + 3 qDimlit = 90 (2)
Multiplicando a equação (1) por 3:
9 qEverglow + 3 qDimlit = 270 (3)
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
9 qEverglow + 3 qDimlit - (qEverglow + 3 qDimlit) = 270 - 90
Simplificando:
8 qEverglow = 180
Então:
qEverglow = 1808 = 22,5

Passo 8

Agora, substituímos qEverglow = 22,5 na equação (1):
3 times 22,5 + qDimlit = 90
Calculando:
67,5 + qDimlit = 90
Então:
qDimlit = 90 - 67,5 = 22,5

Passo 9

Com as quantidades de equilíbrio das duas empresas, podemos calcular o preço de equilíbrio usando a função de demanda:
Q = qEverglow + qDimlit = 22,5 + 22,5 = 45
Então:
p = 100 - Q = 100 - 45 = 55

Passo 10

Agora, vamos calcular o lucro de cada empresa. O lucro é:
pii = p cdot qi - Ci = p cdot qi - (10 qi + 12 qi^2)
Para a Everglow:
piEverglow = 55 times 22,5 - (10 times 22,5 + 12 times 22,5^2)
Calculando:
piEverglow = 1237,5 - (225 + 253,125) = 1237,5 - 478,125 = 759,375
Como a Dimlit tem a mesma quantidade e custo, o lucro dela será igual:
piDimlit = 759,375

Resposta

O equilíbrio ocorre quando:
qEverglow^* = 22,5 milhões de caixas õ
qDimlit^* = 22,5 milhões de caixas õ
p^* = 55 reais por caixa
Cada empresa tem um lucro de:
piEverglow = piDimlit = 759,375 milhões de reais õ

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