A demanda por lâmpadas pode ser caracterizada por
, onde cada unidade de
mede um milhão de caixas de luzes vendidas e
é o preço por caixa. Existem dois produtores de luzes, Everglow e Dimlit, cujas funções de custo são idênticas
e
.
Incapaz de reconhecer o potencial de conluio, as duas empresas atuam como concorrentes perfeitos de curto prazo. Quais são os valores de equilíbrio de
e
? Quais são os lucros de cada empresa?
Incapaz de reconhecer o potencial de conluio, as duas empresas atuam como concorrentes perfeitos de curto prazo. Quais são os valores de equilíbrio de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre duas empresas que produzem lâmpadas: Everglow e Dimlit. A gente precisa encontrar o equilíbrio de produção de cada uma delas (
e
), o preço de venda (
) e os lucros de cada empresa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Economia de Mercado, especificamente modelo de concorrência de Cournot onde as empresas escolhem a quantidade para maximizar seus lucros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a demanda do mercado. A demanda é dada por:
Aqui,
é a quantidade total de lâmpadas vendidas (em milhões de caixas) e
é o preço por caixa. Como são duas empresas, a quantidade total
é a soma das quantidades produzidas por cada uma:
Passo 3
Agora, vamos olhar para as funções de custo das empresas. Ambas têm a mesma função de custo:
Isso significa que para produzir
caixas, o custo total é
. O primeiro termo é o custo fixo e o segundo é o custo variável que aumenta com a quantidade produzida.
Passo 4
Para encontrar o equilíbrio, cada empresa vai escolher sua quantidade de produção de forma que maximize seu lucro, assumindo que a produção da outra empresa é constante. O lucro de cada empresa é dado por:
Substituindo a função de demanda na fórmula do lucro:
Como
, podemos reescrever o lucro para a Everglow:
Passo 5
Para maximizar o lucro, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Essa é a função de reação da Everglow, que mostra como a Everglow reage à produção da Dimlit.
Passo 6
Fazemos o mesmo para a Dimlit. A função de lucro da Dimlit é:
Derivando em relação a
e igualando a zero:
Simplificando:
Essa é a função de reação da Dimlit.
Passo 7
Agora temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Multiplicando a equação (1) por 3:
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Simplificando:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos
na equação (1):
Calculando:
Então:
Passo 9
Com as quantidades de equilíbrio das duas empresas, podemos calcular o preço de equilíbrio usando a função de demanda:
Então:
Passo 10
Agora, vamos calcular o lucro de cada empresa. O lucro é:
Para a Everglow:
Calculando:
Como a Dimlit tem a mesma quantidade e custo, o lucro dela será igual:
Resposta
O equilíbrio ocorre quando:
Cada empresa tem um lucro de: