Considere fixada uma base
\mathbf{E}=\left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}{3}\right)
de V^{3}.
Exercício 8. Consideremos as relações:
\overrightarrow{f{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}} \quad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \quad \overrightarrow{f_{3}}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+4 \overrightarrow{e_{3}}.
(a) Verifique que
\mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right)
é uma base de
V^{3}
.
(b) Ache a matriz de mudança de base, da base
\mathbf{E}=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right)
para a base
\mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right).
(c) Sendo
\vec{u}=3 \overrightarrow{e_{1}}-5 \overrightarrow{e_{2}}+4 \overrightarrow{e_{3}}
, achar a expressão do vetor
\vec{u}
em relação à base
\mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right).
Passo 1
O enunciado fixa a base de e define
Pede-se:
(a) mostrar que é base;
(b) achar a matriz de mudança de base de para ;
(c) expressar na base .
Usaremos determinante para independência, inversão de matriz para mudar coordenadas e solução de sistema para encontrar as componentes.
Passo 2
Para (a) montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de em relação a :