Considere fixada uma base
\mathbf{E}=\left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}{3}\right)
de V^{3}.
Exercício 8. Consideremos as relações:
\overrightarrow{f
{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}} \quad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \quad \overrightarrow{f_{3}}=2 \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+4 \overrightarrow{e_{3}}.
(a) Verifique que
\mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right)
é uma base de
V^{3}
.
(b) Ache a matriz de mudança de base, da base
\mathbf{E}=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right)
para a base
\mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right).
(c) Sendo
\vec{u}=3 \overrightarrow{e_{1}}-5 \overrightarrow{e_{2}}+4 \overrightarrow{e_{3}}
, achar a expressão do vetor
\vec{u}
em relação à base
\mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right).

Passo 1

O enunciado fixa a base E=(vec e1,vec e2,vec e3) de V^3 e define
vec f1=vec e1-vec e2-vec e3, vec f2=vec e1+2vec e2+vec e3, vec f3=2vec e1+vec e2+4vec e3
Pede-se:
(a) mostrar que F=(vec f1,vec f2,vec f3) é base;
(b) achar a matriz de mudança de base de E para F;
(c) expressar vec u=3vec e1-5vec e2+4vec e3 na base F.
Usaremos determinante para independência, inversão de matriz para mudar coordenadas e solução de sistema para encontrar as componentes.

Passo 2

Para (a) montamos a matriz P cujas colunas são as coordenadas de vec f1,vec f2,vec f3 em relação a E:
P= 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4
Calculamos seu determinante:
det(P) =1cdotl(2cdot4-1cdot1r) -1cdotl((-1)cdot4-1cdot(-1)r) +2cdotl((-1)cdot1-2cdot(-1)r) =7+3+2=12

Passo 3

Como det(P)=12neq0, as colunas de P são linearmente independentes e geram V^3. Portanto F=(vec f1,vec f2,vec f3) é de fato uma base.

Passo 4

A matriz de mudança de base de E para F satisfaz
[v]E=P,[v]F Longrightarrow [v]F=P^-1,[v]E
Calculamos
P^-1=112 7 & -2 & -3 3 & 6 & -3 1 & -2 & 3

Passo 5

Para (c), temos [,vec u,]E=(3,-5,4)^T. Logo
[,vec u,]F =P^-1,[,vec u,]E =112 7 & -2 & -3 3 & 6 & -3 1 & -2 & 3 3-54 =112 19-3325
Assim as coordenadas de vec u na base F são
l(tfrac1912,-tfrac114,tfrac2512r).

Resposta

(a) F é base pois det(P)=12neq0.
(b) A matriz que leva [v]F em [v]E é
P= 1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 4 ,
e a que leva [v]E em [v]F é
P^-1=112 7 & -2 & -3 3 & 6 & -3 1 & -2 & 3
(c) [,vec u,]F=l(tfrac1912,-tfrac114,tfrac2512r).

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