Considere fixada uma base
\mathbf{E}=\left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}{3}\right)
de V^{3}.
Exercício 9. Seja
\mathbf{F}=\left((1,1,1)
{\mathbf{E}},(1,2,0){\mathbf{E}},(1,1,0){\mathbf{E}}\right)
e
\mathbf{G}=\left((2,1,-1){\mathbf{E}},(3,0,1){\mathbf{E}},(2,0,1){\mathbf{E}}\right).
a) Mostre que
\mathbf{F}
e
\mathbf{G}
são bases de
V^{3}
.
b) Determine a matriz de mudança de base, da base
\mathbf{E}
para a base
\mathbf{F}
, isto é,
M
{\mathbf{E F}}.
c) Se
\vec{u}=(m, 2,1){\mathbf{E}}, \vec{v}=(1,1,1){\mathbf{F}}
e
\vec{w}=(2,-1,1)_{\mathbf{F}}
, determinar
m \in \mathbb{R}
, de modo que os vetores
{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}
não formem uma base de
V^{3}.

Passo 1

O enunciado fixa uma base E de V^3 e dá dois conjuntos
F=l((1,1,1)E,,(1,2,0)E,,(1,1,0)Er)
e
G=l((2,1,-1)E,,(3,0,1)E,,(2,0,1)Er).
Precisamos:
– (a) mostrar que F e G são bases de V^3 (teste de independência linear via determinante);
– (b) montar a matriz de mudança de base de E para F;
– (c) achar m para que vec u,vec v,vec w deixe de ser base, sabendo que
vec u=(m,2,1)E, vec v=(1,1,1)F, vec w=(2,-1,1)F.

Passo 2

(a) Para cada conjunto, formamos a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores em E$ e calculamos o determinante.
As coordenadas de F dão
[F] ;=; 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0
Calculando
det[F] =1,(2cdot0-1cdot0);-;1,(1cdot0-1cdot1);+;1,(1cdot0-2cdot1) =-1neq0,
logo F é independente e, por ter 3 vetores em V^3, forma base.
As coordenadas de G dão
[G] ;=; 2 & 3 & 2 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1
Calculando
det[G] =2,(0cdot1-1cdot0);-;3,(1cdot1-(-1)cdot0);+;2,(1cdot0-(-1)cdot0) =-3neq0,
logo G também é base de V^3.

Passo 3

(b) A matriz de mudança de base de E para F, que chamamos de ME F, tem cada coluna igual à coordenada de um vetor de F em E. Portanto
ME F = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0

Passo 4

(c) Queremos m tal que vec u,vec v,vec w seja linearmente dependente. Primeiro expressamos vec v e vec w em coordenadas de E:
vec v=(1,1,1)F
vec vE =ME F111 =1+1+11+2+11+0+0 =341,
vec w=(2,-1,1)F
vec wE =ME F2-11 =2-1+12-2+12-0+0 =212
vec u=(m,2,1)E. Para dependência, o determinante da matriz com colunas vec u,vec vE,vec wE deve ser zero:
m & 3 & 2 2 & 4 & 1 1 & 1 & 2 =7m-13=0 ;Longrightarrow; m=137

Resposta

(a) As matrizes de coordenadas
[F]= 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0 , [G]= 2 & 3 & 2 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 1
têm determinantes -1 e -3, respectivamente, logo F e G são bases de V^3.
(b)
ME F = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0
(c)
m=137

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