Considere fixada uma base
\mathbf{E}=\left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}{3}\right)
de V^{3}.
Exercício 9. Seja
\mathbf{F}=\left((1,1,1){\mathbf{E}},(1,2,0){\mathbf{E}},(1,1,0){\mathbf{E}}\right)
e
\mathbf{G}=\left((2,1,-1){\mathbf{E}},(3,0,1){\mathbf{E}},(2,0,1){\mathbf{E}}\right).
a) Mostre que
\mathbf{F}
e
\mathbf{G}
são bases de
V^{3}
.
b) Determine a matriz de mudança de base, da base
\mathbf{E}
para a base
\mathbf{F}
, isto é,
M{\mathbf{E F}}.
c) Se
\vec{u}=(m, 2,1){\mathbf{E}}, \vec{v}=(1,1,1){\mathbf{F}}
e
\vec{w}=(2,-1,1)_{\mathbf{F}}
, determinar
m \in \mathbb{R}
, de modo que os vetores
{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}
não formem uma base de
V^{3}.
Passo 1
O enunciado fixa uma base de e dá dois conjuntos
e .
Precisamos:
– (a) mostrar que e são bases de (teste de independência linear via determinante);
– (b) montar a matriz de mudança de base de para ;
– (c) achar para que deixe de ser base, sabendo que , , .
Passo 2
(a) Para cada conjunto, formamos a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores em e calculamos o determinante.
As coordenadas de dão