As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Descreva o menor subespaço do espaço matricial M(2 times 2) que contém
[ll1 & 0 0 & 0] e [ll0 & 1 0 & 0].

Passo 1

O enunciado pede o menor subespaço de M(2times2) que contenha as matrizes
A = 1&00&0 e B = 0&10&0
Em geral, o menor subespaço que contém um conjunto S é dado pelo span de S, isto é, todas as combinações lineares de seus elementos.

Passo 2

Definimos
spanA,B = l,c1A + c2B mid c1,c2inRr
Substituindo A e B, um elemento genérico é
c11&00&0 + c20&10&0 = c1 & c2 [6pt] 0 & 0
]

Passo 3

Para verificar que esse conjunto é subespaço, note que se
a&b0&0
e
a'&b'0&0
estão nele, então sua soma é
a+a'&b+b'0&0
e, para todo escalar lambda,
lambdaa&b0&0 = lambda a & lambda b0&0
Ambos permanecem no conjunto, logo ele é fechado em soma e multiplicação por escalar.

Passo 4

É o menor subespaço porque qualquer subespaço W que contenha A e B deve conter todas as combinações lineares de A e B, isto é, deve conter spanA,B. Portanto não existe subespaço próprio menor que ainda contenha A e B.

Resposta

O menor subespaço de M(2times2) que contém A e B é
a&b0&0;midd<=|;a,bin R

Exercícios relacionados