As questões são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: e (e então todas as combinações lineares ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Descreva o menor subespaço do espaço matricial que contém .
Passo 1
O enunciado pede o menor subespaço de M(2times 2) que contém a matriz
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 0
Isso é um problema de teoria de espaços vetoriais, mais precisamente sobre subespaços e combinações lineares.]
Passo 2
Em geral, dado um subconjunto S de um espaço vetorial V, o menor subespaço de V que contém S é a interseção de todos os subespaços de V que contêm S. Por definição, essa interseção coincide com o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S, ou seja, o span de S:
span(S) ;=;lsumi=1^kci,si ;m|; kinN, siin S, ciinRr
Passo 3
Aqui S=A é um conjunto com um único elemento. Logo
span(A) =,c,A mid cinR =,c & c [4pt]0 & 0m|cinR
Esse conjunto é fechado em soma e multiplicação escalar, e é o menor subespaço que contém A.]