Exercício 10. Este exercício trata de vetores paralelos a um certo plano fixado. Vamos denotar por V^2 o conjunto de tais vetores. Com o que sabemos do conceito de L.I., uma base qualquer de V^2 é uma sequência de 2 vetores L.I. (assim como uma base qualquer de V^3 é uma sequência de 3 vetores L.I.). Nos itens (a) e (b) abaixo, cada uma das bases E e F são formadas por vetores expressos a partir de uma base B qualquer pré-fixada.
Obtenha a matriz de mudança da base E=((1,1)B,(1,-1)B) para a base F=((-1,-1)B,(1,-1)B).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de E para F em um espaço vetorial de dimensão 2, onde
E=l((1,1)B,,(1,-1)Br),
F=l((-1,-1)B,,(1,-1)Br)
Vamos usar o fato de que, para qualquer vetor v, suas coordenadas satisfazem
vB = EB,[v]E = FB,[v]F
e assim obter [v]F = FB^-1EB,[v]E.

Passo 2

Anotamos em relação à base fixa B as matrizes cujas colunas são os vetores de E e F.
EB = 1 & 1 1 & -1
FB = -1 & 1 -1 & -1

Passo 3

Definimos
P = FB^-1,EB
como a matriz que leva coordenadas de E para coordenadas de F.

Passo 4

Calculamos FB^-1. O determinante de FB é
det(FB) = (-1)(-1) - (1)(-1) = 2,
logo
FB^-1 = 12-1 & -1 1 & -1

Passo 5

Multiplicamos FB^-1 por EB:
FB^-1EB = 12-1 & -1 1 & -1 1 & 1 1 & -1 = -1 & 0 0 & 1

Resposta

-1 & 0 0 & 1

Exercícios relacionados