Considere fixada uma base
\mathbf{E}=\left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}{3}\right)
de V^{3}.
Exercício 7. Considere
\overrightarrow{f
{1}}=\vec{e}{1}-\vec{e}{2}, \overrightarrow{f_{2}}=\vec{e}{2}-\vec{e}{3}
e
\overrightarrow{f_{3}}=3 \vec{e}{3}.
(a) Mostre que
\mathbf{F}=\left(\vec{f}
{1}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right)
é uma base de
V^{3}
.
(b) Calcule
m \in \mathbb{R}
, para que os vetores
\vec{u}=(0, m, 1){\mathbf{E}}
e
\vec{v}=(0,1,-1)
{\mathbf{F}}
sejam L.D.

Passo 1

O enunciado diz que em V^3 temos a base canônica
E=(vec e1,vec e2,vec e3)
e define
vec f1=vec e1-vec e2,
vec f2=vec e2-vec e3,
vec f3=3vec e3.
(a) Pede para mostrar que
F=(vec f1,vec f2,vec f3)
é uma base de V^3.
(b) Pede para achar minR tal que os vetores
vec u=(0,m,1) E
e
vec v=(0,1,-1) F
sejam linearmente dependentes.

Passo 2

Para (a) basta ver que vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes em relação a E. Escrevemos as colunas das coordenadas de vec fi em E:
[vec f1] E=1-10, [vec f2] E=01-1, [vec f3] E=003
O determinante da matriz formada por essas colunas é
det 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 3 =1cdot1cdot3=3neq0
Como o determinante é não nulo, vec f1,vec f2,vec f3 são LI e formam base.

Passo 3

Para (b) precisamos expressar vec v na base E. Temos
vec v=(0,1,-1) F =0cdotvec f1+1cdotvec f2+(-1)cdotvec f3 =vec f2-vec f3
Substituindo vec f2=vec e2-vec e3 e vec f3=3vec e3, vem
[vec v] E =(0,1,-1)- (0,0,3) =(0,1,-4)
Queremos vec u=(0,m,1) E e [vec v] E=(0,1,-4) LD, ou seja, exista lambda tal que
(0,m,1)=lambda,(0,1,-4)
Da primeira coordenada não aparece condição ( 0=lambdacdot 0). Da segunda vem
;m=lambda,
e da terceira
;1=lambdacdot(-4)=-4lambda.
Logo
lambda=-tfrac14, m=lambda=-tfrac14

Resposta

(a) F é base pois o determinante da matriz de mudança é 3neq0.
(b) m=-tfrac14.

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