As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de
são realmente subespaços?
Todas as combinações lineares de
e
.
Quais dos seguintes subconjuntos de
Todas as combinações lineares de
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
onde
e
, é um subespaço de
.
Para isso usamos os critérios de subespaço:
Para isso usamos os critérios de subespaço:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo está em
. Basta escolher
e
, pois
logo
.
Passo 3
Mostramos a fechamento sob soma. Seja
e
em
. Então
que é novamente uma combinação linear de
e
. Portanto
.
Passo 4
Mostramos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
em
e
. Então
que também está em
.
Resposta
O conjunto de todas as combinações lineares de
e
satisfaz todos os requisitos e, portanto, é um subespaço de
.