As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são realmente subespaços?
Todas as combinações lineares de v=(1,4,0) e w=(2,2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,c,v + d,w mid c,dinR,
onde v=(1,4,0) e w=(2,2,2), é um subespaço de R^3.
Para isso usamos os critérios de subespaço:
  1. 0in S.
  2. Se x,yin S então x+yin S.
  3. Se xin S e kinR então k,xin S.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo está em S. Basta escolher c=0 e d=0, pois
0,v + 0,w = 0,
logo 0in S.

Passo 3

Mostramos a fechamento sob soma. Seja
x=c1v+d1w e
y=c2v+d2w em S. Então
x + y = (c1!+!c2),v ;+; (d1!+!d2),w,
que é novamente uma combinação linear de v e w. Portanto x+yin S.

Passo 4

Mostramos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja x=c1v+d1w em S e kinR. Então
k,x = k(c1v+d1w) = (k,c1),v ;+; (k,d1),w,
que também está em S.

Resposta

O conjunto de todas as combinações lineares de v=(1,4,0) e w=(2,2,2) satisfaz todos os requisitos e, portanto, é um subespaço de R^3.

Exercícios relacionados