As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são realmente subespaços?
Todos os vetores com b1 <= b2 <= b3.

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto
S = (b1,b2,b3)in R^3 mid b1<= b2<= b3
é um subespaço de R^3. Para isso, precisamos verificar dois requisitos: (i) fechamento sob soma vetorial e (ii) fechamento sob multiplicação escalar. Além disso, verificar se o vetor zero está em S.

Passo 2

Verificação do fechamento sob soma: sejam
u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) em S. Então
u1<= u2<= u3 e v1<= v2<= v3
Somando componente a componente, obtemos
u1+v1;<=;u2+v2;<=;u3+v3,
logo u+vin S. Portanto, S é fechado sob soma.

Passo 3

Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: basta achar um escalar c e um vetor uin S tais que cunotin S. Tome por exemplo
u=(1,2,3)in S e c=-1
Então
cu=(-1,,-2,,-3)
Para pertencer a S seria necessário -1<= -2<= -3, mas -1<= -2 é falso. Portanto cunotin S, o que mostra que S não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Concluímos que, apesar de S conter o vetor zero e ser fechado sob soma, falha no fechamento sob multiplicação escalar. Logo, S não é subespaço de R^3.

Resposta

O conjunto não é subespaço de R^3.

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