As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de
são realmente subespaços?
Todos os vetores com
.
Quais dos seguintes subconjuntos de
Todos os vetores com
Passo 1
O enunciado pede para testar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos verificar dois requisitos: (i) fechamento sob soma vetorial e (ii) fechamento sob multiplicação escalar. Além disso, verificar se o vetor zero está em
.
Passo 2
Verificação do fechamento sob soma: sejam
e
em
. Então
Somando componente a componente, obtemos
logo
. Portanto,
é fechado sob soma.
Passo 3
Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: basta achar um escalar
e um vetor
tais que
. Tome por exemplo
Então
Para pertencer a
seria necessário
, mas
é falso. Portanto
, o que mostra que
não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Concluímos que, apesar de
conter o vetor zero e ser fechado sob soma, falha no fechamento sob multiplicação escalar. Logo,
não é subespaço de
.
Resposta
O conjunto não é subespaço de
.