Considere fixada uma base
\mathbf{E}=\left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}_{3}\right)
de V^{3}.
Exercício 5. Determine m in R, de modo que a sequência de vetores abaixo sejam L.D.
(m, 1, m)E,(1, m, 1)E

Passo 1

Temos duas coordenadas de vetores em R^3 na base E:
v1 = (m,1,m)E, v2 = (1,m,1)E
A questão pede os valores de m para que v1 e v2 sejam linearmente dependentes. Em R^3, dois vetores são linearmente dependentes se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro (colineares).

Passo 2

Para verificar colinearidade, buscamos lambdainR tal que
(m,1,m)E = lambda,(1,m,1)E
Isso equivale ao sistema de equações nas componentes:
m = lambda, 1 = lambda,m, m = lambda

Passo 3

Das duas primeiras e da última equações vemos que
lambda = m
Substituindo em 1 = lambda,m, vem
1 = mcdot m = m^2 Longrightarrow m^2 = 1 Longrightarrow m = pm 1

Passo 4

Concluímos que somente para m=1 ou m=-1 existe lambda não-nulo tornando v1 múltiplo de v2. Para demais valores de m, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

m = 1 ou m = -1.

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