As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de
são realmente subespaços?
Os vetores com
.
Quais dos seguintes subconjuntos de
Os vetores com
Passo 1
Resumindo, o enunciado pede para verificar se o subconjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os requisitos de subespaço:
- Fechamento sob soma;
- Fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação do fechamento sob soma: precisamos ver se para quaisquer
vale
.
Considere
e
.
Ambos satisfazem , logo
.
Mas
Considere
Ambos satisfazem
Mas
e aí
, de modo que
.
Portanto, o fechamento sob soma falha.
Portanto, o fechamento sob soma falha.
Passo 3
Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
.
Então . Multiplicando por
temos
Então
Logo
, e o fechamento escalar vale.
Passo 4
Como o conjunto falha no fechamento sob soma, ele não é subespaço de
.
Resposta
O subconjunto
não é um subespaço de
.