As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são realmente subespaços?
Os vetores com b1 b2 b3=0.

Passo 1

Resumindo, o enunciado pede para verificar se o subconjunto
S = (b1,b2,b3)in R^3mid b1b2b3=0
é um subespaço de R^3. Para isso, vamos usar os requisitos de subespaço:
  1. Fechamento sob soma;
  2. Fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do fechamento sob soma: precisamos ver se para quaisquer u,vin S vale u+vin S.
Considere
u=(1,0,1) e v=(0,1,1).
Ambos satisfazem b1b2b3=0, logo u,vin S.
Mas
u+v=(1,1,2),
e aí 1cdot 1cdot 2=2neq 0, de modo que u+vnotin S.
Portanto, o fechamento sob soma falha.

Passo 3

Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: seja w=(b1,b2,b3)in S e cinR.
Então b1b2b3=0. Multiplicando por c temos
cw=(cb1,cb2,cb3) e (cb1)(cb2)(cb3)=c^3(b1b2b3)=c^3cdot 0=0
Logo cwin S, e o fechamento escalar vale.

Passo 4

Como o conjunto falha no fechamento sob soma, ele não é subespaço de R^3.

Resposta

O subconjunto (b1,b2,b3)mid b1b2b3=0 não é um subespaço de R^3.

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