Considere fixada uma base
\mathbf{E}=\left(\vec{e}{1}, \vec{e}{2}, \vec{e}{3}\right)
de V^{3}.
Exiba, se possível, os exemplos abaixo. Se impossível explique o porquê.
(a) Uma base de
V^{3}
que contenha os vetores
(1,-2,3){E}
e
(-2,4,6)_{E}
(b) Três vetores L.I. que não formem uma base do espaço.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um espaço vetorial tridimensional com uma base fixa . No exercício, precisamos:
(a) Ver se é possível formar uma nova base que inclua os vetores e .
(b) Encontrar três vetores que sejam linearmente independentes mas que não formem uma base de .
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Base contendo [(1, -2, 3)) e
Primeiro, precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Se forem, podemos tentar completar a base adicionando um terceiro vetor que seja independente dos dois.
Para verificar a independência linear, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (a = 2b]
Substituindo na segunda: (válido)
Na terceira: ⇒ ⇒
Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora que sabemos que os vetores são independentes, para formar uma base de [V^3), precisamos de um terceiro vetor que não seja uma combinação linear dos dois. Vamos escolher, por exemplo, .
Verificamos a independência:
Isso leva ao sistema:
Já sabemos que (a = 2b] e, substituindo na terceira equação:
Para que seja trivial, e, consequentemente, e . Portanto, os três vetores são linearmente independentes e, assim, formam uma base.
Passo 4
Parte (b): Três vetores linearmente independentes que não formam uma base de V^3
Aqui temos um pequeno desafio, porque em um espaço tridimensional, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes necessariamente forma uma base. Então, não é possível encontrar três vetores que sejam independentes mas que não formem uma base de V^3 .
Isso ocorre porque, em V^3 , a dimensão é 3, e exatamente 3 vetores independentes formam uma base.
Resposta
(a) Sim, é possível formar uma base de V^3 que contenha os vetores (1, -2, 3) e (-2, 4, 6) . Por exemplo, adicionando o vetor (0, 0, 1) , temos a base (1, -2, 3), (-2, 4, 6), (0, 0, 1) .
(b) Não é possível encontrar três vetores que sejam linearmente independentes e que não formem uma base de V^3 , pois em um espaço tridimensional, três vetores independentes sempre formam uma base.