As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Descreva o menor subespaço do espaço matricial M(2 times 2) que contém
[ll1 & 0 0 & 0] e [ll1 & 0 0 & 1].

Passo 1

O enunciado pede o menor subespaço de M(2times2) que contém as matrizes
A = 1 & 0 0 & 0 e B = 1 & 0 0 & 1
Conteúdo: subespaços de espaços vetoriais e combinação linear.

Passo 2

Por definição, o menor subespaço que contém A e B é o span deles, ou seja,
SpanA,B = c1A + c2B mid c1,c2inR

Passo 3

Calculemos a combinação geral:
c1A + c2B = c11 & 0 0 & 0 + c21 & 0 0 & 1 = c1+c2 & 0 0 & c2

Passo 4

Reparametrizando, defina a = c1+c2 e b = c2. Então
c1A + c2B = a & 0 0 & b,
onde a,binR. Isso mostra que todo elemento do span é uma matriz diagonal arbitrária.

Resposta

O menor subespaço de M(2times2) que contém A e B é
l,a & 0 0 & bmid a,binRr,
isto é, o subespaço de todas as matrizes diagonais.

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