As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Um conjunto de vetores em
(além de dois quadrantes) para o qual todo
permanece no conjunto, mas
pode estar fora.
Um conjunto de vetores em
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de subconjunto
que seja fechado sob multiplicação escalar (ou seja, para todo
e todo
temos
), mas que não seja fechado sob soma vetorial (ou seja, existam
tais que
). Vamos usar a ideia de unir duas retas que passam pela origem.
Passo 2
Definimos
isto é, a união do eixo
Em ambos os casos . Portanto
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 3
Agora escolhemos
e
. A soma é
Como
não está nem no eixo
nem no eixo
, concluímos
. Assim,
falha em ser fechado sob soma vetorial.