As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Um conjunto de vetores em R^2 (além de dois quadrantes) para o qual todo c x permanece no conjunto, mas x+y pode estar fora.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de subconjunto SsubsetR^2 que seja fechado sob multiplicação escalar (ou seja, para todo xin S e todo cinR temos c,xin S), mas que não seja fechado sob soma vetorial (ou seja, existam x,yin S tais que x+ynotin S). Vamos usar a ideia de unir duas retas que passam pela origem.

Passo 2

Definimos
isto é, a união do eixo
Em ambos os casos . Portanto é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 3

Agora escolhemos x=(1,0)in S e y=(0,1)in S. A soma é
x+y = (1,0)+(0,1) = (1,1)
Como (1,1) não está nem no eixo x nem no eixo y, concluímos x+ynotin S. Assim, S falha em ser fechado sob soma vetorial.

Resposta

S ;=; (x,0)mid xinR;cup;(0,y)mid yinR

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