As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são realmente subespaços?
O plano de vetores (b1, b2, b3) com b1=b2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
S = (b1,b2,b3)inR^3mid b1=b2
é um subespaço de R^3. Para isso, precisamos checar que S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) pertence a S, pois 0=0. Logo, o primeiro requisito (não-vazio e contém o zero) está satisfeito.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u=(x,x,z)in S, v=(y,y,w)in S,
pois em cada um vale a condição “primeiro componente = segunda componente”. Então
u+v = (x+y,;x+y,;z+w),
e novamente a primeira componente é igual à segunda. Logo u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: para u=(x,x,z)in S e escalar cinR,
c,u = (c,x,;c,x,;c,z),
onde de novo a primeira componente coincide com a segunda. Portanto c,uin S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço de R^3.

Resposta

O plano (b1,b2,b3)inR^3mid b1=b2 é um subespaço de R^3.

Exercícios relacionados