As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Quais dos seguintes subconjuntos de
são realmente subespaços?
O plano de vetores
com
.
Quais dos seguintes subconjuntos de
O plano de vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos checar que
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
pertence a
, pois
. Logo, o primeiro requisito (não-vazio e contém o zero) está satisfeito.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
pois em cada um vale a condição “primeiro componente
segunda componente”. Então
e novamente a primeira componente é igual à segunda. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: para
e escalar
,
onde de novo a primeira componente coincide com a segunda. Portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Resposta
O plano
é um subespaço de
.