Considere um fluido com densidade de massa rho e seu escoamento com velocidade v. Mostre que para fluidos incompressíveis a equação da continuidade
partial rhopartial t=nabla cdot(rho v)=rho nabla cdot v+(nabla rho) cdot v
implica nabla cdot v=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da continuidade para um fluido de massa específica rho e velocidade v:
partial rhopartial t ;=;nablacdotl(rho,vr) ;=;rho,nablacdotv ;+;(nablarho)cdotv
Queremos mostrar que, se o fluido é incompressível, então nablacdotv=0.

Passo 2

Para um fluido incompressível a densidade é constante em todo ponto do escoamento e em todo instante. Logo,
partial rhopartial t=0 e nablarho=0

Passo 3

Substituindo partial rhopartial t=0 e nablarho=0 na expressão expandida da continuidade, obtemos
0 ;=;rho,nablacdotv ;+;0 ;;Longrightarrow;; 0=rho,nablacdotv

Passo 4

Como a densidade rho é uma constante positiva não-nula, dividindo ambos os lados por rho vem
nablacdotv=0

Resposta

nablacdotv=0.

Exercícios relacionados