Nas séries infinitas dadas, determine a fórmula para Sa em termos de n. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
sumn=1^infty ln (n+1n+2)

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial Sn da série
sumk=1^infty ln!gl(k+1k+2gr)
Isso envolve séries telescópicas e a propriedade de logaritmos
ln(a/b)=ln a - ln b.

Passo 2

Aplicando a identidade de logaritmos ao termo geral, para cada k:
ln!gl(k+1k+2gr) =ln(k+1)-ln(k+2)

Passo 3

A soma parcial Sn é
Sn = sumk=1^nl[ln(k+1)-ln(k+2)r]
Repare que ao expandir os primeiros termos ocorre telescopagem:
(ln2-ln3)+(ln3-ln4)+cdots+(ln(n+1)-ln(n+2))

Passo 4

Após cancelamentos internos sobra apenas:
Sn = ln2 - ln(n+2) =ln!gl(2n+2gr)

Passo 5

Para verificar convergência, examinemos
limntoinftySn =limntoinftyln!gl(2n+2gr) =ln(0)= -infty
Como a soma parcial tende a -infty, a série diverge.

Resposta

Sn = lnl(2/(n+2)r).
A série diverge (não possui soma finita).

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