Um fluido escoa confinado a uma esfera e o perfil de velocidades do escoamento é v(r, theta, phi)= r^2 z r+r^4 sin (phi) theta+r^2 z^2 phi. Calcule a vorticidade do escoamento do fluido.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades em coordenadas esféricas (r,theta,phi)
vec v(r,theta,phi) = r^2z,hat r ;+; r^4sinphi,hattheta ;+; r^2z^2,hatphi
com z=rcostheta.
Pede-se a vorticidade vecomega=nablatimesvec v.
Conteúdo: uso da fórmula do rotacional em coordenadas esféricas.

Passo 2

Expressamos primeiro os componentes de vec v em função de (r,theta,phi):
vr=r^2z = r^2(rcostheta)=r^3costheta,
vtheta=r^4sinphi,
vphi=r^2z^2=r^2(rcostheta)^2=r^4cos^2theta

Passo 3

Em coordenadas esféricas o rotacional vecomega=nablatimesvec v tem componentes
(nablatimesvec v)r =1rsinthetal[partialtheta(vphisintheta)-partialphi(vtheta)r],
(nablatimesvec v)theta =1rl[1sintheta,partialphi(vr) -partialr(r,vphi)r],
(nablatimesvec v)phi =1rl[partialr(r,vtheta) -partialtheta(vr)r]

Passo 4

Cálculo de (nablatimesvec v)r:
vphisintheta = r^4cos^2theta,sintheta,
partialtheta(vphisintheta) =r^4ddtheta[cos^2thetasintheta] =r^4costhetal(cos^2theta-2sin^2thetar),
partialphi(vtheta) =partialphi(r^4sinphi) =r^4cosphi
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(nablatimesvec v)r =1rsinthetal[r^4costheta(cos^2theta-2sin^2theta) -r^4cosphir] =r^3sinthetal[costheta(3cos^2theta-2)-cosphir]

Passo 5

Cálculo de (nablatimesvec v)theta:
partialphi(vr) =partialphi(r^3costheta)=0,
partialr(r,vphi) =partialr(rcdot r^4cos^2theta) =partialr(r^5cos^2theta) =5r^4cos^2theta
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(nablatimesvec v)theta =1rl[0-5r^4cos^2thetar] =-5r^3cos^2theta

Passo 6

Cálculo de (nablatimesvec v)phi:
partialr(r,vtheta) =partialr(rcdot r^4sinphi) =partialr(r^5sinphi) =5r^4sinphi,
partialtheta(vr) =partialtheta(r^3costheta) =-r^3sintheta
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(nablatimesvec v)phi =1rl[5r^4sinphi -(-r^3sintheta)r] =5r^3sinphi + r^2sintheta

Passo 7

Reagrupando, a vorticidade é
vecomega =(nablatimesvec v)r,hat r +(nablatimesvec v)theta,hattheta +(nablatimesvec v)phi,hatphi

Resposta

boxed vecomega(r,theta,phi) =r^3sinthetal[costheta(3cos^2theta-2)-cosphir]hat r ;-;5r^3cos^2theta,hattheta ;+;l(5r^3sinphi + r^2sinthetar)hatphi

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