Prove que se X=a Y+b, então varphiX(t)= varphia+b(t)=e^itb varphiY(at)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como a função característica se comporta quando fazemos uma transformação linear na variável aleatória: se X=aY+b, provar que varphiX(t)=e^itb,varphiY(at). Vamos usar definição de função característica e propriedades da esperança.

Passo 2

A função característica de X é definida por varphiX(t)=E[e^itX]. Aqui vamos precisar também da propriedade de que se uma parte do integrando não depende da variável aleatória, podemos fatorá-la para fora da esperança.

Passo 3

Substituindo X=aY+b na definição, temos:
varphiX(t)=E[e^it(aY+b)]
pela regra dos expoentes, e^it(aY+b)=e^itbe^i t aY, logo
varphiX(t)=E[e^itbe^i a tY]
Como e^itb não depende de Y, sai da esperança:
varphiX(t)=e^itb,E[e^i(at)Y]
Mas E[e^i(at)Y]=varphiY(at) por definição de função característica de Y. Então chegamos ao resultado desejado.

Resposta

varphiX(t)=e^itb,varphiY(at)

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