Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa F ext agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
m d vd t=-d md t ve x+Fe x t
[Revise a dedução da Equação m d v=-d m ve x (Eq. 3.6 do livro do Taylor), mas mantenha o termo da força externa.]
Particularize para o caso do foguete ser lançado verticalmente (a partir do repouso) em um campo gravitacional g, de modo que a equação de movimento se torne
m d vd t=-d md t ve x-m g
Assuma que o foguete expele massa a uma taxa constante, d md t=-k (onde k é uma constante positiva), de modo que m=m0-k t. Resolva a equação de movimento do sistema para v como uma função de t, usando separação de variáveis (isto é, reescreva a equação de forma que os termos envolvendo v estejam à esquerda e todos os termos envolvendo t estejam à direita).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete que está se movendo em linha reta e é afetado por uma força externa $ F_{ext} $ nessa mesma direção. A matéria que vamos usar aqui é a segunda lei de Newton aplicada a sistemas com massa variável, tipo foguetes que perdem massa conforme expulsam combustível. Para resolver, precisamos entender como a força externa, a variação da massa e a velocidade do foguete se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ sobre um objeto é igual à massa $ m $ dele multiplicada pela aceleração $ a $:
F
Como o foguete está perdendo massa, a equação precisa levar isso em conta. A mudança da velocidade com o tempo é representada por $ \frac{dv}{dt} $, então a equação fica:
m
Aqui, $ \frac{dm}{dt} v_{ex} $ é a força devido à perda de massa, onde $ v_{ex} $ é a velocidade do gás expelido.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao caso específico onde o foguete é lançado verticalmente. Isso significa que além da força externa $ F_{ext} $, temos a força da gravidade atuando para baixo, que é $ m g $. Assim, a equação do movimento fica:
Fext
O sinal negativo aparece porque a gravidade age na direção oposta ao movimento para cima do foguete.

Passo 4

O próximo passo é considerar que a massa do foguete está diminuindo a uma taxa constante. Isso é dado por:
dmdt = -k
onde $ k $ é uma constante positiva. Integrando isso, temos que a massa em função do tempo é:
k
Aqui, $ m_0 $ é a massa inicial do foguete no lançamento ($ t = 0 $).

Passo 5

Vamos substituir $ \frac{dm}{dt} $ e $ m $ na equação do movimento:
dmdt
Simplificando os sinais:
m

Passo 6

Dividimos ambos os lados por $ m_0 - k t $ para isolar $ \frac{dv}{dt} $:
m0 - k t

Passo 7

Agora, queremos resolver essa equação diferencial para $ v $ em função de $ t $ usando separação de variáveis. Reescrevemos a equação assim:
v
Integrando ambos os lados:
t

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
v = -vex ln(m0 - k t) - g t + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial de que o foguete parte do repouso, ou seja, $ v = 0 $ quando $ t = 0 $:
C
Então:
C

Passo 9

Substituímos $ C $ na expressão de $ v $:
C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
v

Resposta

A velocidade do foguete em função do tempo é:
v(t) = vex ln(m0m0 - k t) - g t

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