Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa
agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
[Revise a dedução da Equação
(Eq. 3.6 do livro do Taylor), mas mantenha o termo da força externa.]
Particularize para o caso do foguete ser lançado verticalmente (a partir do repouso) em um campo gravitacional
, de modo que a equação de movimento se torne
Assuma que o foguete expele massa a uma taxa constante,
(onde k é uma constante positiva), de modo que
. Resolva a equação de movimento do sistema para
como uma função de
, usando separação de variáveis (isto é, reescreva a equação de forma que os termos envolvendo
estejam à esquerda e todos os termos envolvendo
estejam à direita).
Particularize para o caso do foguete ser lançado verticalmente (a partir do repouso) em um campo gravitacional
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete que está se movendo em linha reta e é afetado por uma força externa $ F_{ext} $ nessa mesma direção. A matéria que vamos usar aqui é a segunda lei de Newton aplicada a sistemas com massa variável, tipo foguetes que perdem massa conforme expulsam combustível. Para resolver, precisamos entender como a força externa, a variação da massa e a velocidade do foguete se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ sobre um objeto é igual à massa $ m $ dele multiplicada pela aceleração $ a $:
Como o foguete está perdendo massa, a equação precisa levar isso em conta. A mudança da velocidade com o tempo é representada por $ \frac{dv}{dt} $, então a equação fica:
Aqui, $ \frac{dm}{dt} v_{ex} $ é a força devido à perda de massa, onde $ v_{ex} $ é a velocidade do gás expelido.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao caso específico onde o foguete é lançado verticalmente. Isso significa que além da força externa $ F_{ext} $, temos a força da gravidade atuando para baixo, que é $ m g $. Assim, a equação do movimento fica:
O sinal negativo aparece porque a gravidade age na direção oposta ao movimento para cima do foguete.
Passo 4
O próximo passo é considerar que a massa do foguete está diminuindo a uma taxa constante. Isso é dado por:
onde $ k $ é uma constante positiva. Integrando isso, temos que a massa em função do tempo é:
Aqui, $ m_0 $ é a massa inicial do foguete no lançamento ($ t = 0 $).
Passo 5
Vamos substituir $ \frac{dm}{dt} $ e $ m $ na equação do movimento:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por $ m_0 - k t $ para isolar $ \frac{dv}{dt} $:
Passo 7
Agora, queremos resolver essa equação diferencial para $ v $ em função de $ t $ usando separação de variáveis. Reescrevemos a equação assim:
Integrando ambos os lados:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde $ C $ é a constante de integração. Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial de que o foguete parte do repouso, ou seja, $ v = 0 $ quando $ t = 0 $:
Então:
Passo 9
Substituímos $ C $ na expressão de $ v $:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
Resposta
A velocidade do foguete em função do tempo é: