Um malabarista está jogando malabares com uma chama em uma das extremidades. Ele segura o malabar pela extremidade sem chama e arremessao para cima de modo que, no momento da liberação, ele está horizontal, seu centro de massa (CM) move-se verticalmente para cima com uma velocidade v0 e ele está girando com velocidade angular omega0. Para agarrá-lo, o malabarista deseja uma configuração de modo que, ao retornar para sua mão, o malabar
tenha realizado um número inteiro de rotações completas. Qual deve ser v0, se o malabar tiver que realizar n rotações ao retornar à sua mão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que esse exercício está pedindo. Temos um malabarista que está jogando um malabares com uma chama em uma das extremidades. Quando ele solta o malabares, o centro de massa (CM) dele está subindo verticalmente com uma velocidade $ v_{0} $ e girando com uma velocidade angular $ \omega_{0} $. A meta é que, quando o malabares volte para a mão do malabarista, ele tenha completado exatamente $ n $ rotações completas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento vertical (como a física de projéteis) e movimento de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar quanto tempo o malabares fica no ar antes de voltar para a mão do malabarista. Como o movimento do centro de massa é vertical e está subindo e descendo sob a influência da gravidade, podemos usar a fórmula do tempo total de voo para um projétil lançado para cima e retornando à mesma altura:
t = 2v0g
onde:
  • $ t $ é o tempo total de voo,
  • $ v_{0} $ é a velocidade inicial para cima,
  • $ g $ é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).

Passo 3

Agora, vamos considerar o movimento de rotação do malabares. A velocidade angular inicial é $ \omega_{0} $ e queremos que, durante o tempo $ t $ que o malabares está no ar, ele complete exatamente $ n $ rotações completas.
Sabemos que o número de rotações $ n $ está relacionado ao tempo e à velocidade angular pela fórmula:
omega0
Aqui, $ 2\pi $ radianos correspondem a uma rotação completa.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar $ v_{0} $ em termos de $ n $, $ g $ e $ \omega_{0} $. Vamos substituir o tempo $ t $ da primeira equação na segunda equação:
v0
Simplificando essa expressão:
n

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ v_{0} $:
v0

Resposta

A velocidade inicial $ v_{0} $ deve ser:
v0

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