Duas pessoas, cada uma de massa
, estão em pé em uma das extremidades de um vagão de massa
, com rodas sem atrito, em uma estrada de ferro. Elas podem correr para a outra extremidade do vagão e saltar para fora dele com velocidade
(relativa ao vagão).
Use a conservação do momento para determinar a velocidade de recuo do vagão se as duas pessoas correrem e pularem simultaneamente.
Use a conservação do momento para determinar a velocidade de recuo do vagão se as duas pessoas correrem e pularem simultaneamente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas pessoas, cada uma com massa $ m_h $, dentro de um vagão que tem massa $ m_v $ e está sobre trilhos sem atrito. Elas estão nas extremidades opostas do vagão e decidem correr para o outro lado e pular para fora com uma velocidade $ u $ relativa ao vagão. Queremos descobrir qual será a velocidade de recuo do vagão quando isso acontecer, usando o princípio da conservação do momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o momento linear. O momento ($ p $) de um objeto é dado por $ p = m \times v $, onde $ m $ é a massa e $ v $ a velocidade. A conservação do momento diz que, em um sistema isolado sem forças externas, o momento total antes de um evento é igual ao momento total depois do evento.
Passo 3
Antes das pessoas começarem a correr e saltar, todo o sistema (vagão mais as duas pessoas) está parado, então o momento inicial é zero:
Passo 4
Quando as duas pessoas correm para o outro lado e pulam com velocidade $ u $ relativa ao vagão, elas ganham um momento para frente. Para conservar o momento total, o vagão deve se mover na direção oposta, ganhando um momento para trás.
Passo 5
Vamos considerar a velocidade do vagão após o salto como $ V $. As pessoas têm velocidade $ u $ relativa ao vagão, então a velocidade real delas em relação ao solo será $ V + u $.
Passo 6
Calculamos o momento final das duas pessoas:
E o momento do vagão:
Passo 7
Aplicando a conservação do momento:
Passo 8
Agora, vamos resolver essa equação para $ V $:
Resposta
A velocidade de recuo do vagão é:
Isso significa que o vagão se moverá na direção oposta ao salto das pessoas com essa velocidade.