Duas pessoas, cada uma de massa mh, estão em pé em uma das extremidades de um vagão de massa mv, com rodas sem atrito, em uma estrada de ferro. Elas podem correr para a outra extremidade do vagão e saltar para fora dele com velocidade u (relativa ao vagão).
Use a conservação do momento para determinar a velocidade de recuo do vagão se as duas pessoas correrem e pularem simultaneamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas pessoas, cada uma com massa $ m_h $, dentro de um vagão que tem massa $ m_v $ e está sobre trilhos sem atrito. Elas estão nas extremidades opostas do vagão e decidem correr para o outro lado e pular para fora com uma velocidade $ u $ relativa ao vagão. Queremos descobrir qual será a velocidade de recuo do vagão quando isso acontecer, usando o princípio da conservação do momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o momento linear. O momento ($ p $) de um objeto é dado por $ p = m \times v $, onde $ m $ é a massa e $ v $ a velocidade. A conservação do momento diz que, em um sistema isolado sem forças externas, o momento total antes de um evento é igual ao momento total depois do evento.

Passo 3

Antes das pessoas começarem a correr e saltar, todo o sistema (vagão mais as duas pessoas) está parado, então o momento inicial é zero:
pinicial = 0

Passo 4

Quando as duas pessoas correm para o outro lado e pulam com velocidade $ u $ relativa ao vagão, elas ganham um momento para frente. Para conservar o momento total, o vagão deve se mover na direção oposta, ganhando um momento para trás.

Passo 5

Vamos considerar a velocidade do vagão após o salto como $ V $. As pessoas têm velocidade $ u $ relativa ao vagão, então a velocidade real delas em relação ao solo será $ V + u $.

Passo 6

Calculamos o momento final das duas pessoas:
ppessoas = 2 times mh times (V + u)
E o momento do vagão:
pvagão = mv times V ã

Passo 7

Aplicando a conservação do momento:
pinicial = pfinal
0 = 2 mh (V + u) + mv V

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação para $ V $:
V
0 = 2 mh V + 2 mh u + mv V
(2 mh + mv) V = -2 mh u

Resposta

A velocidade de recuo do vagão é:
V = -2 mh u2 mh + mv
Isso significa que o vagão se moverá na direção oposta ao salto das pessoas com essa velocidade.

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