Um projétil é atirado com um ângulo de lançamento alpha acima da horizontal. Qual o valor máximo de alpha para o qual a distância do projétil ao ponto de lançamento estaria sempre aumentando enquanto ele viaja? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado com um ângulo alpha acima da horizontal. A pergunta é: qual é o valor máximo de alpha para que a distância do projétil até o ponto de lançamento esteja sempre aumentando enquanto ele voa? Vamos precisar usar conceitos de movimento de projéteis e cinemática. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil em componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy). Se a velocidade inicial é v0, então:
vx = v0 cos(alpha)
vy = v0 sin(alpha)
Aqui, cos(alpha) e sin(alpha) são funções trigonométricas que nos ajudam a separar a velocidade nas direções horizontal e vertical.

Passo 3

Agora, vamos expressar a posição do projétil em função do tempo. A posição horizontal ( x) e vertical ( y) em qualquer instante t são dadas por:
x(t) = vx cdot t = v0 cos(alpha) cdot t
y(t) = vy cdot t - 12 g t^2 = v0 sin(alpha) cdot t - 12 g t^2
Onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s^2).

Passo 4

A distância do projétil ao ponto de lançamento em qualquer instante t é a distância entre os pontos (0,0) e (x(t), y(t)). Usamos a fórmula da distância:
D(t) = raiz[x(t)]^2 + [y(t)]^2
Substituindo x(t) e y(t):
D(t) = raiz(v0 cos(alpha) t)^2 + (v0 sin(alpha) t - 12 g t^2)^2

Passo 5

Queremos que a distância D(t) esteja sempre aumentando, ou seja, a derivada de D(t) em relação ao tempo ( D'(t)) deve ser sempre positiva:
D'(t) > 0 forall t > 0
Calculando a derivada:
D'(t) = ddt raiz(v0 cos(alpha) t)^2 + (v0 sin(alpha) t - 12 g t^2)^2
Para simplificar, vamos focar na taxa de variação da distância. A distância aumenta se a componente da velocidade na direção da posição for positiva. Isso significa que o ângulo entre a velocidade e a posição deve ser menor que 90 graus.
Isso ocorre quando a derivada da distância em relação ao tempo é positiva:
dDdt = x(t) vx + y(t) vy(t)D(t) > 0
Simplificando:
vx^2 t + vy (vy - g t) t > 0
Após simplificar e rearranjar os termos, chegamos à condição que relaciona o ângulo alpha com a acelerção gravitacional.

Passo 6

Após resolver a inequação resultante, encontramos que o ângulo máximo alphamax que satisfaz a condição de que a distância esteja sempre aumentando é:
alphamax = 45^circ

Resposta

O valor máximo do ângulo alpha para que a distância do projétil ao ponto de lançamento esteja sempre aumentando é 45 graus.

Exercícios relacionados