Um projétil é atirado com um ângulo de lançamento
acima da horizontal. Qual o valor máximo de
para o qual a distância do projétil ao ponto de lançamento estaria sempre aumentando enquanto ele viaja? Despreze a resistência do ar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado com um ângulo
acima da horizontal. A pergunta é: qual é o valor máximo de
para que a distância do projétil até o ponto de lançamento esteja sempre aumentando enquanto ele voa? Vamos precisar usar conceitos de movimento de projéteis e cinemática. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do projétil em componentes horizontal (
) e vertical (
). Se a velocidade inicial é
, então:
Aqui,
e
são funções trigonométricas que nos ajudam a separar a velocidade nas direções horizontal e vertical.
Passo 3
Agora, vamos expressar a posição do projétil em função do tempo. A posição horizontal (
) e vertical (
) em qualquer instante
são dadas por:
Onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Passo 4
A distância do projétil ao ponto de lançamento em qualquer instante
é a distância entre os pontos
e
. Usamos a fórmula da distância:
Substituindo
e
:
Passo 5
Queremos que a distância
esteja sempre aumentando, ou seja, a derivada de
em relação ao tempo (
) deve ser sempre positiva:
Calculando a derivada:
Para simplificar, vamos focar na taxa de variação da distância. A distância aumenta se a componente da velocidade na direção da posição for positiva. Isso significa que o ângulo entre a velocidade e a posição deve ser menor que 90 graus.
Isso ocorre quando a derivada da distância em relação ao tempo é positiva:
Simplificando:
Após simplificar e rearranjar os termos, chegamos à condição que relaciona o ângulo
com a acelerção gravitacional.
Passo 6
Após resolver a inequação resultante, encontramos que o ângulo máximo
que satisfaz a condição de que a distância esteja sempre aumentando é:
Resposta
O valor máximo do ângulo
para que a distância do projétil ao ponto de lançamento esteja sempre aumentando é 45 graus.