Considere um foguete sujeito a uma força resistiva linear,
, e sem outras forças externas. Mostre que se o foguete parte do repouso e ejeta massa a uma taxa constante
, então sua velocidade é dada por
onde
é a velocidade relativa do jato de material em relação ao foguete.
onde
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um foguete que parte do repouso, ejeta massa com velocidade relativa constante
e a uma taxa
. Além disso, sobre ele atua só uma força de arrasto linear
.
Conteúdo: mecânica de sistemas de massa variável (equação do foguete) e resolução de EDO linear de 1ª ordem por fator integrante.
Conteúdo: mecânica de sistemas de massa variável (equação do foguete) e resolução de EDO linear de 1ª ordem por fator integrante.
Passo 2
Escrevendo a 2ª lei para massa variável:
Aqui
-
é o arrasto, -
(taxa de ejeção positiva), - e
é a velocidade de exaustão relativa.
Logo
Passo 3
Dividindo tudo por
, colocado na forma padrão de EDO linear:
Repare que é uma equação do tipo
,
com e
.
com
Passo 4
Para resolver, usamos o fator integrante
Como
,
Passo 5
Multiplicando a EDO por
, o lado esquerdo vira derivada exata:
Passo 6
Integramos de
(onde
,
) até tempo
genérico (onde
,
).
Do lado direito, é mais fácil trocar por
, pois
.
Do lado direito, é mais fácil trocar
Calculando a integral em
:
Passo 7
Como
, temos
Substituindo
e
, dá