Considere um foguete sujeito a uma força resistiva linear, F=-b v, e sem outras forças externas. Mostre que se o foguete parte do repouso e ejeta massa a uma taxa constante dotm=-k, então sua velocidade é dada por
v=kb ve x[1-(mm0)^bk]
onde ve x é a velocidade relativa do jato de material em relação ao foguete.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um foguete que parte do repouso, ejeta massa com velocidade relativa constante e a uma taxa . Além disso, sobre ele atua só uma força de arrasto linear .
Conteúdo: mecânica de sistemas de massa variável (equação do foguete) e resolução de EDO linear de 1ª ordem por fator integrante.

Passo 2

Escrevendo a 2ª lei para massa variável:
mdvdt=sum Frm ext+vrm exl(-dot mr)
Aqui
  • mdvdt=k,vex-b,v é o arrasto,
  • (taxa de ejeção positiva),
  • e é a velocidade de exaustão relativa.
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Passo 3

Dividindo tudo por dvdt+bm,v =k,vexm , colocado na forma padrão de EDO linear:
Repare que é uma equação do tipo
,
com e .

Passo 4

Para resolver, usamos o fator integrante
mu(t)=exp!l(!integral P(t),dtr) =exp!l(!integral bm(t),dtr)
Como integralbm,dt =-bkln!l(tfracmm0r) Longrightarrow mu(t) =l(tfracmm0r)^-bk ,

Passo 5

Multiplicando a EDO por mu,dvdt+mu,bmv =ddtl(v,mur) e ddt(v,mu) =k,vexm,mu , o lado esquerdo vira derivada exata:

Passo 6

Integramos de integral0^tddt(v,mu),dt = -vexintegralm0^mm^-1-bk,dm (onde -,vexintegralm0^mm^-1-alphadm com alpha=tfracbk ;Rightarrow; vexalphal(m^-alpha-m0^-alphar) , ) até tempo genérico (onde , ).
Do lado direito, é mais fácil trocar por , pois .
Calculando a integral em :

Passo 7

Como v,mu =vexalphal(m^-alpha-m0^-alphar) Longrightarrow v =vexalphal(m^-alpha-m0^-alphar),mu^-1 , temos
v =kb,vexl[1-l(tfracmm0r)^bkr]
Substituindo e , dá

Resposta

boxed% v=kb,vexgl[1-l(mm0r)^bkgr]

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