Considere a força eletrostática entre um disco circular carregado e uma carga pontual \mathbf{q}.
O disco tem espessura desprezível, raio \mathbf{R} e carga total \mathbf{Q} uniformemente distribuída. A carga pontual \mathbf{q} encontra-se sobre o eixo de simetria perpendicular ao disco, localizada a uma distância \boldsymbol{a} em relação a ele.
Determinar o módulo da força eletrostática sobre a carga pontual.

Passo 1

O problema pede o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual q situada no eixo normal a um disco circular de raio R, de espessura desprezível, que possui carga total Q distribuída uniformemente. A carga pontual está a uma distância a do plano do disco.
Informações dadas:
\text{disco: raio }R,\quad\text{carga total }Q,\quad\text{distribuição uniforme (superfície)}çãí
\text{carga pontual: }q\quad\text{no eixo, a distância }a\text{ do disco}â
Objetivo: determinar o módulo da força eletrostática exercida sobre q.

Passo 2

Escolho decompor o disco em anéis concêntricos (método clássico para problemas com simetria axial). Cada anel é fácil de tratar: sua contribuição ao campo no eixo é conhecida e a contribuição total resulta da integração dos anéis de raio r entre r=0 e r=R. Esta técnica é apropriada porque o disco tem simetria circular e a força resultante está ao longo do eixo.

Passo 3

Calculamos a densidade superficial de carga do disco (carga por unidade de área). Como a carga está uniformemente distribuída:
\sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}.
Aqui \sigma tem unidades de carga por área (C/m ^2).

Passo 4

Considere um anel de raio r e espessura radial dr. A carga desse anel é
dq=\sigma\cdot\text{(área do anel)}=\sigma\cdot 2\pi r\,dr.á
Por simetria, o campo elétrico produzido por esse anel no ponto do eixo a distância a do plano do anel aponta ao longo do eixo (componentes radiais se cancelam). Para um elemento de carga do anel, o campo diferencial ao ponto do eixo tem módulo dado pela Lei de Coulomb; a componente axial é obtida multiplicando pelo cosseno do ângulo entre a linha que liga o elemento e o eixo. Assim, a contribuição axial diferencial do anel inteiro é
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{a^{2}+r^{2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^{2}+r^{2}}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{a\,dq}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}.
Explicando os termos: 1/(4\pi\varepsilon_0) é a constante de Coulomb, dq é a carga do anel, o fator 1/(a^{2}+r^{2}) vem da lei de Coulomb para a distância, e \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+r^{2}}} é o cosseno do ângulo que projeta o campo na direção do eixo.

Passo 5

Substituímos dq=\sigma 2\pi r\,dr em dE e escrevemos a integral do campo total E no ponto do eixo (posição da carga q):
E=\int_{0}^{R} dE =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,a\int_{0}^{R}\frac{\sigma 2\pi r\,dr}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}.
Colocando constantes fora da integral:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 2\pi\sigma\,a\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Agora calculamos a integral
I=\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(a^{2}+r^{2})^{3/2}}.
Fazemos a substituição u=a^{2}+r^{2}. Então du=2r\,dr, ou r\,dr=\dfrac{du}{2}. Os limites: quando r=0, u=a^{2}; quando r=R, u=a^{2}+R^{2}. Assim
I=\frac{1}{2}\int_{u=a^{2}}^{a^{2}+R^{2}} u^{-3/2}\,du.
Integrando u^{-3/2}: uma primitiva é -2u^{-1/2} (pois \dfrac{d}{du}u^{-1/2}=-\tfrac{1}{2}u^{-3/2}). Portanto
I=\frac{1}{2}\left[-2u^{-1/2}\right]_{a^{2}}^{a^{2}+R^{2}} =-\left[u^{-1/2}\right]_{a^{2}}^{a^{2}+R^{2}} =\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}.

Passo 7

Substituímos I na expressão de E:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 2\pi\sigma\,a\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).
Simplificando a com 1/a no primeiro termo:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 2\pi\sigma\left(1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).
Agora usamos \sigma=\dfrac{Q}{\pi R^{2}}:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 2\pi\cdot\frac{Q}{\pi R^{2}}\left(1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2Q}{R^{2}}\left(1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).
Este é o módulo do campo elétrico no ponto do eixo (o sinal da direção depende do sinal de Q).

Passo 8

A força elétrica sobre a carga q tem módulo igual a F=|q|E. Portanto
F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2|q\,Q|}{R^{2}}\left(1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right).
Comentário de verificação (sanity check):
  • Caso R\to\infty (plano infinito), temos \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\to 0 e F\to \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{2|qQ|}{R^{2}}. Como Q=\sigma\pi R^{2}, isso produz E\to\sigma/(2\varepsilon_{0}), que é o campo conhecido de um plano infinitamente carregado — OK.
  • Caso a\gg R (distância muito maior que o tamanho do disco), a expressão tende a F\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{|qQ|}{a^{2}}, ou seja, o disco aparece como carga pontual Q — OK.

Resposta

|\mathbf{F}|=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2|qQ|}{R^{2}}\left(1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right)

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