Considere a força eletrostática entre um disco circular carregado e uma carga pontual
.
O disco tem espessura desprezível, raio
e carga total
uniformemente distribuída. A carga pontual
encontra-se sobre o eixo de simetria perpendicular ao disco, localizada a uma distância
em relação a ele.
Determinar o módulo da força eletrostática sobre a carga pontual.
O disco tem espessura desprezível, raio
Determinar o módulo da força eletrostática sobre a carga pontual.
Passo 1
O problema pede o módulo da força eletrostática sobre uma carga pontual
situada no eixo normal a um disco circular de raio
, de espessura desprezível, que possui carga total
distribuída uniformemente. A carga pontual está a uma distância
do plano do disco.
Informações dadas:
Informações dadas:
Objetivo: determinar o módulo da força eletrostática exercida sobre
.
Passo 2
Escolho decompor o disco em anéis concêntricos (método clássico para problemas com simetria axial). Cada anel é fácil de tratar: sua contribuição ao campo no eixo é conhecida e a contribuição total resulta da integração dos anéis de raio
entre
e
. Esta técnica é apropriada porque o disco tem simetria circular e a força resultante está ao longo do eixo.
Passo 3
Calculamos a densidade superficial de carga do disco (carga por unidade de área). Como a carga está uniformemente distribuída:
Aqui
tem unidades de carga por área (C/m
).
Passo 4
Considere um anel de raio
e espessura radial
. A carga desse anel é
Por simetria, o campo elétrico produzido por esse anel no ponto do eixo a distância
do plano do anel aponta ao longo do eixo (componentes radiais se cancelam). Para um elemento de carga do anel, o campo diferencial ao ponto do eixo tem módulo dado pela Lei de Coulomb; a componente axial é obtida multiplicando pelo cosseno do ângulo entre a linha que liga o elemento e o eixo. Assim, a contribuição axial diferencial do anel inteiro é
Explicando os termos:
é a constante de Coulomb,
é a carga do anel, o fator
vem da lei de Coulomb para a distância, e
é o cosseno do ângulo que projeta o campo na direção do eixo.
Passo 5
Substituímos
em
e escrevemos a integral do campo total
no ponto do eixo (posição da carga
):
Colocando constantes fora da integral:
Passo 6
Agora calculamos a integral
Fazemos a substituição
. Então
, ou
. Os limites: quando
,
; quando
,
. Assim
Integrando
: uma primitiva é
(pois
). Portanto
Passo 7
Substituímos
na expressão de
:
Simplificando
com
no primeiro termo:
Agora usamos
:
Este é o módulo do campo elétrico no ponto do eixo (o sinal da direção depende do sinal de
).
Passo 8
A força elétrica sobre a carga
tem módulo igual a
. Portanto
Comentário de verificação (sanity check):
- Caso
(plano infinito), temos e . Como , isso produz , que é o campo conhecido de um plano infinitamente carregado — OK. - Caso
(distância muito maior que o tamanho do disco), a expressão tende a , ou seja, o disco aparece como carga pontual — OK.