Considere que o módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais seja igual a \mathbf{F}_{0} quando a distância entre elas for igual a \mathbf{r}_{0}.
Determinar a módulo da força eletrostática quando a distância for \mathbf{2} \mathbf{r}_{\mathbf{o}} e comparar com a força para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{0}}.
Determinar a módulo da força eletrostática quando a distância for \mathbf{4} \mathbf{r}_{\mathbf{0}} e comparar com a força para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Determinar a módulo da força eletrostática quando a distância for \mathbf{r}_{\mathbf{0}} / \mathbf{2} e comparar com a força para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Com os dados acima construir um gráfico de módulo da força eletrostática \mathbf{F} em função da distância radial \mathbf{r} entre duas cargas pontuais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as ações abaixo:
  • Informação dada: o módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais é F_0 quando a distância entre elas é r_0.
  • Perguntas a responder:
    1. Determinar o módulo da força eletrostática quando a distância for 2r_0 e comparar com a força em r_0.
    2. Determinar o módulo da força eletrostática quando a distância for 4r_0 e comparar com a força em r_0.
    3. Determinar o módulo da força eletrostática quando a distância for r_0/2 e comparar com a força em r_0.
    4. Com os dados acima, construir (descrever como desenhar) o gráfico do módulo da força F em função da distância radial r entre as cargas.

Passo 2

Apresentar a relação matemática que liga força e distância (modelo físico usado).
A lei que relaciona o módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais é a seguinte:
F(r)=k\,\frac{q_1 q_2}{r^2},
onde:
  • F(r) é o módulo da força quando as cargas estão separadas por uma distância r;
  • k é uma constante (no vácuo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}), a constante depende do meio, mas não precisamos do seu valor numérico aqui;
  • q_1 e q_2 são os valores das cargas pontuais;
  • r é a distância entre as cargas.
Explicação didática: essa fórmula diz que a força varia com o inverso do quadrado da distância — ou seja, se você dobra a distância, a força fica \tfrac{1}{2^2}=\tfrac{1}{4} do valor anterior; se reduz a distância pela metade, a força aumenta por um fator 2^2=4. Vamos usar essa propriedade.

Passo 3

Expressar F(r) em termos de F_0 e r_0, para poder comparar sem conhecer k,q_1,q_2.
Sabemos que quando r=r_0 vale:
F_0 = F(r_0) = k\,\frac{q_1 q_2}{r_0^2}.
Isolando o produto k q_1 q_2 obtemos:
k q_1 q_2 = F_0\, r_0^2.
Substituindo isso na expressão geral F(r)=k\frac{q_1 q_2}{r^2} obtemos a relação conveniente:
F(r)=F_0\left(\frac{r_0}{r}\right)^2.
Comentário didático: essa fórmula é ótima porque elimina k,q_1,q_2; ela diz diretamente como comparar forças em diferentes distâncias usando apenas F_0 e r_0.

Passo 4

Calcular F quando r=2r_0.
Substituímos r=2r_0 na fórmula:
F(2r_0)=F_0\left(\frac{r_0}{2r_0}\right)^2 =F_0\left(\frac{1}{2}\right)^2 =F_0\cdot\frac{1}{4} =\frac{F_0}{4}.
Comparação e interpretação: ao dobrar a distância, a força passa a ser um quarto do valor em r_0. Intuição física: duplicar r reduz F por 2^2.

Passo 5

Calcular F quando r=4r_0.
Substituímos r=4r_0:
F(4r_0)=F_0\left(\frac{r_0}{4r_0}\right)^2 =F_0\left(\frac{1}{4}\right)^2 =F_0\cdot\frac{1}{16} =\frac{F_0}{16}.
Comparação e interpretação: quando a distância fica quatro vezes maior, a força fica \tfrac{1}{16} do valor em r_0; geral: fator de alteração é 4^2=16.

Passo 6

Calcular F quando r=r_0/2.
Substituímos r=r_0/2:
F\!\left(\frac{r_0}{2}\right)=F_0\left(\frac{r_0}{r_0/2}\right)^2 =F_0\left(2\right)^2 =F_0\cdot 4 =4F_0.
Comparação e interpretação: ao reduzir a distância pela metade, a força aumenta por um fator 2^2=4. Intuição: encurtar distâncias aumenta rápido a força eletrostática por causa do inverso do quadrado.

Passo 7

Construir (descrever) o gráfico de F em função de r. Passos práticos para desenhar à mão e interpretação da forma da curva:
  1. Use a expressão obtida:
F(r)=F_0\left(\frac{r_0}{r}\right)^2.
  1. Eixos: no eixo horizontal coloque r (com r>0), no eixo vertical coloque F (módulo, sempre positivo). Marque um ponto de referência r=r_0 no eixo r. No eixo F marque F_0 correspondente.
  2. Marque os pontos calculados:
    • Em r=r_0 o ponto é (r_0,\;F_0).
    • Em r=2r_0 o ponto é (2r_0,\;F_0/4).
    • Em r=4r_0 o ponto é (4r_0,\;F_0/16).
    • Em r=r_0/2 o ponto é (r_0/2,\;4F_0).
  3. Forma da curva: ligue suavemente os pontos seguindo a lei \propto 1/r^2. A curva é decrescente, convexa (curva cai rapidamente perto de r=0 e tende a zero quando r\to\infty). Mais precisamente:
    • Quando r\to\infty, F(r)\to 0 (assíntota horizontal em F=0).
    • Quando r\to 0^+, F(r)\to +\infty (a curva cresce sem limite para distâncias muito pequenas).
  4. Dica de escala: escolha unidades para que r_0 seja um ponto fácil (por exemplo, 1 unidade no eixo r) e ajuste o eixo F para mostrar claramente 4F_0, F_0, F_0/4, F_0/16. Se preferir uma visualização que mostre mais claramente as várias ordens de magnitude, use escala log-log (então a curva vira uma reta com inclinação -2), mas para a prova uma escala linear com os pontos marcados é suficiente.

Passo 8

Resumo final (o que você deve anotar rapidamente na prova): escreva a fórmula de comparação e os valores nos pontos pedidos para justificar o gráfico. A fórmula-chave é
F(r)=F_0\left(\frac{r_0}{r}\right)^2,
e os resultados numéricos específicos já calculados servem para marcar o gráfico.

Resposta

F(2r_0)=\dfrac{F_0}{4} — é 1/4 de F_0.
F(4r_0)=\dfrac{F_0}{16} — é 1/16 de F_0.
F\!\left(\dfrac{r_0}{2}\right)=4F_0 — é 4 vezes F_0.
Equação e gráfico: F(r)=F_0\left(\dfrac{r_0}{r}\right)^2; o gráfico é uma curva positiva decrescente com comportamento \propto 1/r^2, com F(r)\to0 quando r\to\infty e F(r)\to\infty quando r\to0^+, marcando os pontos (r_0,F_0),(2r_0,F_0/4),(4r_0,F_0/16),(r_0/2,4F_0).

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