Considere a forma bilinear dada pelo produto euclideano sobre R^4: g(u, v)=u^t v, determine a matriz de g relativamente a base:
beta=v1=(-2,0,3,1), v2=(1,2,1,-1), v3=(0,1,2,-1), v4=(1,2,3,1)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de g relativamente à base
beta=v1,v2,v3,v4 em R^4, onde
g(u,v)=u^tv
é o produto escalar usual. Para isso precisamos calcular a matriz de Gram, cuja entrada (i,j) é
g(vi,vj) = vicdot vj

Passo 2

Calculamos os produtos escalares envolvendo v1:
g(v1,v1) = (-2)^2+0^2+3^2+1^2 = 14,
g(v1,v2) = (-2)cdot1 + 0cdot2 + 3cdot1 + 1cdot(-1) = 0,
g(v1,v3) = (-2)cdot0 + 0cdot1 + 3cdot2 + 1cdot(-1) = 5,
g(v1,v4) = (-2)cdot1 + 0cdot2 + 3cdot3 + 1cdot1 = 8

Passo 3

Calculamos os produtos escalares envolvendo v2:
g(v2,v2) = 1^2+2^2+1^2+(-1)^2 = 7,
g(v2,v3) = 1cdot0 + 2cdot1 + 1cdot2 + (-1)cdot(-1) = 5,
g(v2,v4) = 1cdot1 + 2cdot2 + 1cdot3 + (-1)cdot1 = 7

Passo 4

Calculamos os restantes produtos escalares:
g(v3,v3) = 0^2+1^2+2^2+(-1)^2 = 6,
g(v3,v4) = 0cdot1 + 1cdot2 + 2cdot3 + (-1)cdot1 = 7,
g(v4,v4) = 1^2+2^2+3^2+1^2 = 15

Passo 5

Agora montamos a matriz de g na base beta, lembrando que ela é simétrica:
Gbeta = g(v1,v1) & g(v1,v2) & g(v1,v3) & g(v1,v4) g(v2,v1) & g(v2,v2) & g(v2,v3) & g(v2,v4) g(v3,v1) & g(v3,v2) & g(v3,v3) & g(v3,v4) g(v4,v1) & g(v4,v2) & g(v4,v3) & g(v4,v4) = 14 & 0 & 5 & 8 0 & 7 & 5 & 7 5 & 5 & 6 & 7 8 & 7 & 7 & 15

Resposta

Gbeta = 14 & 0 & 5 & 8 0 & 7 & 5 & 7 5 & 5 & 6 & 7 8 & 7 & 7 & 15

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