Seja
o espaço das matrizes reais de ordem
. Considere:
onde
. Mostre que
f é uma forma bilinear e determine a matriz que representa
f na base usual de
V e calcule o posto de
f .
Passo 1
O enunciado define em
espaço das matrizes reais
a aplicação
onde
Precisamos mostrar que
é bilinear, encontrar a matriz que o representa na base usual
de
e calcular o posto dessa matriz.
Passo 2
Para qualquer
e escalares
, usamos que a transposta, o produto de matrizes e o traço são lineares em cada argumento. Então
e análoga linearidade vale em
. Logo,
é bilinear.
Passo 3
Para obter a matriz de representação, calculamos
Um cálculo direto mostra que
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 4
Na base usual ordenada como
(E11,E12,E21,E22) , a matriz de
f é
Passo 5
Para calcular o posto de
cuja única solução é .
Resposta
A forma
é bilinear, sua matriz na base usual é
e .