Seja V o espaço das matrizes reais de ordem 2 times 2. Considere:
f(X, Y)=tr(X^t A Y), forall X, Y in V
onde A=[ll1 & 2 3 & 4]. Mostre que f é uma forma bilinear e determine a matriz que representa f na base usual de V e calcule o posto de f.

Passo 1

O enunciado define em espaço das matrizes reais a aplicação
onde
Precisamos mostrar que é bilinear, encontrar a matriz que o representa na base usual
de e calcular o posto dessa matriz.

Passo 2

Para qualquer e escalares , usamos que a transposta, o produto de matrizes e o traço são lineares em cada argumento. Então
e análoga linearidade vale em . Logo, é bilinear.

Passo 3

Para obter a matriz de representação, calculamos
Um cálculo direto mostra que
onde é o delta de Kronecker.

Passo 4

Na base usual ordenada como (E11,E12,E21,E22), a matriz de f é
M=l[f(Eij,Ekl)r](ij),(kl) = 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 3 & 0 & 4 & 0 0 & 3 & 0 & 4

Passo 5

Para calcular o posto de
cuja única solução é .

Resposta

A forma é bilinear, sua matriz na base usual é
e .

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