Um forno siderúrgico usado para purificação de silício destinado a produção de células fotovoitaicas tem o formato de um cilindro com 1 metro de altura e sua base tem raio igual a 25 centímetros. A parte superior é aberta e a temperatura na sua vizinhança é
. A parede lateral e a base do forno são mantidas a uma temperatura constante de
e
, respectivamente. A parede e a base do forno são isoladas termicamente com o ambiente externo e podem ser consideradas como corpos negros. Considerando que há apenas troca de calor por meio de radiação, determine a potência necessária para manter estas condições no forno?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um forno siderúrgico na forma de um cilindro com 1 metro de altura e base de raio 25 centímetros. A parte superior está aberta e a temperatura ao redor é de
. As paredes laterais do forno estão a
e a base a
. Queremos determinar a potência necessária para manter essas temperaturas, considerando que a troca de calor ocorre apenas por radiação e que as superfícies são corpos negros.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que descreve a potência emitida por um corpo negro em função de sua temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a Lei de Stefan-Boltzmann utiliza a temperatura absoluta.
A fórmula para converter Celsius para Kelvin é:
Aplicando isso:
- Temperatura ambiente:
- Temperatura das paredes laterais:
- Temperatura da base:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das superfícies pelas quais ocorrerá a troca de calor por radiação.
Como o forno é um cilindro com a parte superior aberta, temos duas áreas principais:
- Área das paredes laterais:
onde
é o raio e
é a altura.
- Área da base:
Vamos calcular cada uma:
- Raio:
- Altura:
Calculando:
- Área das paredes laterais:
- Área da base:
Passo 4
A seguir, aplicaremos a Lei de Stefan-Boltzmann para cada parte do forno.
A fórmula da potência radiada por um corpo negro é:
onde:
- $ \sigma = 5,670 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $ é a constante de Stefan-Boltzmann,
-
é a área da superfície, -
é a temperatura do objeto em Kelvin, -
é a temperatura ambiente em Kelvin.
Passo 5
Vamos calcular a potência radiada pelas paredes laterais e pela base separadamente.
- Paredes Laterais:
Substituindo os valores:
- Base:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular os termos dentro dos parênteses primeiro.
- Para as paredes laterais:
- Para a base:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores de volta nas equações de potência:
- Paredes Laterais:
- Base:
Passo 8
Finalmente, somamos as potências das paredes laterais e da base para obter a potência total necessária:
Resposta
A potência necessária para manter as condições no forno é de aproximadamente
watts.