Um forno siderúrgico usado para purificação de silício destinado a produção de células fotovoitaicas tem o formato de um cilindro com 1 metro de altura e sua base tem raio igual a 25 centímetros. A parte superior é aberta e a temperatura na sua vizinhança é 27^circ C. A parede lateral e a base do forno são mantidas a uma temperatura constante de 1400^circ C e 1700^circ C, respectivamente. A parede e a base do forno são isoladas termicamente com o ambiente externo e podem ser consideradas como corpos negros. Considerando que há apenas troca de calor por meio de radiação, determine a potência necessária para manter estas condições no forno?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um forno siderúrgico na forma de um cilindro com 1 metro de altura e base de raio 25 centímetros. A parte superior está aberta e a temperatura ao redor é de 27^circ C. As paredes laterais do forno estão a 1400^circ C e a base a 1700^circ C. Queremos determinar a potência necessária para manter essas temperaturas, considerando que a troca de calor ocorre apenas por radiação e que as superfícies são corpos negros.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que descreve a potência emitida por um corpo negro em função de sua temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a Lei de Stefan-Boltzmann utiliza a temperatura absoluta.
A fórmula para converter Celsius para Kelvin é:
TK = TC + 273,15
Aplicando isso:
  • Temperatura ambiente:
Tamb = 27 + 273,15 = 300,15 , K
  • Temperatura das paredes laterais:
Tparede = 1400 + 273,15 = 1673,15 , K
  • Temperatura da base:
Tbase = 1700 + 273,15 = 1973,15 , K

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das superfícies pelas quais ocorrerá a troca de calor por radiação.
Como o forno é um cilindro com a parte superior aberta, temos duas áreas principais:
  1. Área das paredes laterais:
Alateral = 2pi r h
onde r é o raio e h é a altura.
  1. Área da base:
Abase = pi r^2
Vamos calcular cada uma:
  • Raio:
r = 25 , cm = 0,25 , m
  • Altura:
h = 1 , m
Calculando:
  • Área das paredes laterais:
Alateral = 2 times pi times 0,25 times 1 approx 1,5708 , m^2
  • Área da base:
Abase = pi times (0,25)^2 approx 0,1963 , m^2

Passo 4

A seguir, aplicaremos a Lei de Stefan-Boltzmann para cada parte do forno.
A fórmula da potência radiada por um corpo negro é:
P = sigma A (Tobjeto^4 - Tamb^4)
onde:
  • $ \sigma = 5,670 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $ é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • sigma = 5,670 times 10^-8 , W/m^2K^4 é a área da superfície,
  • A é a temperatura do objeto em Kelvin,
  • Tobjeto é a temperatura ambiente em Kelvin.

Passo 5

Vamos calcular a potência radiada pelas paredes laterais e pela base separadamente.
  1. Paredes Laterais:
Plateral = sigma times Alateral times (Tparede^4 - Tamb^4)
Substituindo os valores:
Plateral = 5,670 times 10^-8 times 1,5708 times (1673,15^4 - 300,15^4)
  1. Base:
Pbase = sigma times Abase times (Tbase^4 - Tamb^4)
Substituindo os valores:
Pbase = 5,670 times 10^-8 times 0,1963 times (1973,15^4 - 300,15^4)

Passo 6

Vamos calcular os termos dentro dos parênteses primeiro.
  1. Para as paredes laterais:
1673,15^4 approx 7,817 times 10^12 , K^4
300,15^4 approx 8,109 times 10^9 , K^4
7,817 times 10^12 - 8,109 times 10^9 approx 7,817 times 10^12 , K^4 (pois 8,109 times 10^9 é muito pequeno comparado) é
  1. Para a base:
1973,15^4 approx 1,506 times 10^13 , K^4
300,15^4 approx 8,109 times 10^9 , K^4
1,506 times 10^13 - 8,109 times 10^9 approx 1,506 times 10^13 , K^4

Passo 7

Agora, substituímos esses valores de volta nas equações de potência:
  1. Paredes Laterais:
Plateral = 5,670 times 10^-8 times 1,5708 times 7,817 times 10^12
Plateral approx 5,670 times 10^-8 times 1,5708 times 7,817 times 10^12 approx 6,99 times 10^8 , W
  1. Base:
Pbase = 5,670 times 10^-8 times 0,1963 times 1,506 times 10^13
Pbase approx 5,670 times 10^-8 times 0,1963 times 1,506 times 10^13 approx 1,68 times 10^9 , W

Passo 8

Finalmente, somamos as potências das paredes laterais e da base para obter a potência total necessária:
Ptotal = Plateral + Pbase approx 6,99 times 10^8 + 1,68 times 10^9 = 2,379 times 10^9 , W

Resposta

A potência necessária para manter as condições no forno é de aproximadamente 2,38 times 10^9 watts.

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