Considere a funçălo
.
(a) (1.5) Calcule
.
(b)
Qual a taxa de variaçîo da funçăo no ponto
?
(a) (1.5) Calcule
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular
— ou seja, a expressão da derivada para qualquer . - (b) Encontrar a taxa de variação da função no ponto
— isto é, .
Informações relevantes que temos: o numerador é
e o denominador é
. Não há outras condições especiais dadas.
Passo 2
Decidindo o método: como a função é uma razão de duas funções (numerador sobre denominador), o método direto e natural é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra devagarinho.
Regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui
é a função que está em cima (numerador) e
a que está embaixo (denominador). A regra diz: derive o numerador, multiplique pelo denominador; subtraia o numerador vezes a derivada do denominador; divida pelo quadrado do denominador. É uma fórmula que vem da combinação da regra do produto com a regra da cadeia — mas para a prova basta decorar a forma e entender o raciocínio por trás (derivar a razão).
Passo 3
Identificar
e
e calcular
e
.
Defina
Derivadas:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Logo,
- A derivada de
é e a de é , então
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com os termos encontrados:
Agora faço uma simplificação algébrica do numerador para ficar mais apresentável (útil para avaliar em
e também para leitura):
Calcule o numerador
:
Portanto uma forma mais compacta e elegante para a derivada é
Se preferir, pode ficar com a forma não expandida que veio direto da regra do quociente; ambas são equivalentes.]
Passo 5
Agora calculo a taxa de variação no ponto
, ou seja,
. Uso a forma simplificada do numerador:
Avalio cada termo em
:
-
. -
. -
em é . -
. -
. -
em é .
Logo o numerador em
é
O denominador em
é
. Portanto
Interpretação rápida: taxa de variação zero significa que a reta tangente ao gráfico de
em
é horizontal.
Resposta
(a)
(b)
(b)