Considere a funçălo g(x)=\frac{e^{x}-\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+1}.
(a) (1.5) Calcule g^{\prime}(x).
(b) (0.5) Qual a taxa de variaçîo da funçăo no ponto x=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{e^{x}-\sin(x)}{x^{2}+1}
e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular g^{\prime}(x) — ou seja, a expressão da derivada para qualquer x.
  2. (b) Encontrar a taxa de variação da função no ponto x=0 — isto é, g^{\prime}(0).
Informações relevantes que temos: o numerador é e^{x}-\sin(x) e o denominador é x^{2}+1. Não há outras condições especiais dadas.

Passo 2

Decidindo o método: como a função é uma razão de duas funções (numerador sobre denominador), o método direto e natural é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra devagarinho.
Regra do quociente: se \displaystyle h(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é a função que está em cima (numerador) e v(x) a que está embaixo (denominador). A regra diz: derive o numerador, multiplique pelo denominador; subtraia o numerador vezes a derivada do denominador; divida pelo quadrado do denominador. É uma fórmula que vem da combinação da regra do produto com a regra da cadeia — mas para a prova basta decorar a forma e entender o raciocínio por trás (derivar a razão).

Passo 3

Identificar u e v e calcular u'(x) e v'(x).
Defina
u(x)=e^{x}-\sin(x),\qquad v(x)=x^{2}+1.
Derivadas:
  • A derivada de e^{x} é e^{x}.
  • A derivada de \sin(x) é \cos(x).
    Logo,
u'(x)=e^{x}-\cos(x).
  • A derivada de x^{2} é 2x e a de 1 é 0, então
v'(x)=2x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com os termos encontrados:
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{\bigl(e^{x}-\cos x\bigr)\bigl(x^{2}+1\bigr)-\bigl(e^{x}-\sin x\bigr)\bigl(2x\bigr)}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.
Agora faço uma simplificação algébrica do numerador para ficar mais apresentável (útil para avaliar em x=0 e também para leitura):
Calcule o numerador N(x):
\begin{aligned} N(x)&=(e^{x}-\cos x)(x^{2}+1)-2x(e^{x}-\sin x)\\[4pt] &=e^{x}(x^{2}+1)-\cos x(x^{2}+1)-2x e^{x}+2x\sin x\\[4pt] &=e^{x}\bigl(x^{2}+1-2x\bigr)-\cos x\bigl(x^{2}+1\bigr)+2x\sin x\\[4pt] &=e^{x}\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)-\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos x+2x\sin x\\[4pt] &=e^{x}(x-1)^{2}-\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos x+2x\sin x. \end{aligned}
Portanto uma forma mais compacta e elegante para a derivada é
g'(x)=\frac{e^{x}(x-1)^{2}-\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos x+2x\sin x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.
Se preferir, pode ficar com a forma não expandida que veio direto da regra do quociente; ambas são equivalentes.]

Passo 5

Agora calculo a taxa de variação no ponto x=0, ou seja, g'(0). Uso a forma simplificada do numerador:
Avalio cada termo em x=0:
  • e^{0}=1.
  • (0-1)^{2}=1.
  • x^{2}+1 em 0 é 1.
  • \cos 0=1.
  • \sin 0=0.
  • 2x\sin x em 0 é 0.
Logo o numerador em 0 é
e^{0}(0-1)^{2}-\bigl(0^{2}+1\bigr)\cos 0+2\cdot 0\cdot\sin 0 = 1\cdot 1 - 1\cdot 1 + 0 = 0.
O denominador em 0 é (0^{2}+1)^{2}=1. Portanto
g'(0)=\frac{0}{1}=0.
Interpretação rápida: taxa de variação zero significa que a reta tangente ao gráfico de g em x=0 é horizontal.

Resposta

(a) \displaystyle g'(x)=\frac{\bigl(e^{x}-\cos x\bigr)\bigl(x^{2}+1\bigr)-2x\bigl(e^{x}-\sin x\bigr)}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}=\frac{e^{x}(x-1)^{2}-\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos x+2x\sin x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}
(b) \displaystyle 0

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