(1.0) Mostre que a funçăo
admite duas raízes distintas em R (Dica: aplique o TVI para dois intervalos distinios).
Passo 1
O que o exercício pede: mostrar que a função
admite duas raízes distintas em
.
Informações dadas pelo enunciado: a expressão da função .
Meta clara: encontrar dois pontos em que permitam aplicar um teorema de existência de raízes (ou seja, encontrar dois intervalos distintos onde
assume sinais opostos) e concluir que existem duas raízes distintas.
Informações dadas pelo enunciado: a expressão da função
Meta clara: encontrar dois pontos em
Passo 2
Mostrando que podemos aplicar o teorema de existência de raízes: continuidade de
.
Explicação didática da continuidade que precisamos: uma função é contínua em um ponto se não houver “salto” — formalmente, se o limite quando tende ao ponto é igual ao valor da função ali. Para aplicar o teorema do valor intermediário precisamos que a função seja contínua em um intervalo fechado.
Por que é contínua em
: a função
é um polinômio, logo contínua em todo
. A função
é contínua em todo
. A diferença de funções contínuas é contínua. Portanto
é contínua em todo
.
Comentário amigo: isso significa que, em qualquer intervalo fechado, não tem saltos e se mudar de sinal é porque necessariamente cruza o zero em algum ponto interno.
Explicação didática da continuidade que precisamos: uma função é contínua em um ponto se não houver “salto” — formalmente, se o limite quando
Por que
Comentário amigo: isso significa que, em qualquer intervalo fechado,
Passo 3
Avaliar
em pontos simples e verificar sinais (sem precisar de calculadora):
Calcule
:
portanto
.
Calcule
:
Sabemos que para todo
vale
e a igualdade
ocorre somente quando
para algum inteiro
. Como
não é um múltiplo de
, temos
. Portanto
, ou seja,
.
Calcule
: usando
par,
. Assim
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e concluindo a existência das raízes:
Enunciado do TVI (intuição e versão usada): se uma função é contínua em um intervalo fechado e os valores
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um ponto
tal que
.
Aplicação ao nosso caso: já mostramos que é contínua. Em
temos
e
; como
, o TVI garante a existência de um
com
. Em
temos
e
; como
, o TVI garante a existência de um
com
.
Os intervalos e
são disjuntos, logo
e
são raízes distintas.
Enunciado do TVI (intuição e versão usada): se uma função é contínua em um intervalo fechado
Aplicação ao nosso caso: já mostramos que
Os intervalos
Passo 5
Observação adicional (útil para prova rápida): a função
é par, pois
Assim, se existe uma raiz positiva
, automaticamente
é raiz em
. Essa simetria explica por que encontramos uma raiz em cada intervalo simétrico ao redor de zero.
Mensagem amiga: então já era — encontramos garantidamente duas raízes, uma negativa e a outra positiva, perto de zero.
Resposta
Existem pelo menos duas raízes distintas: uma em
e outra em
.