(1.0) Mostre que a funçăo h(x)=x^{2}-\cos (x) admite duas raízes distintas em R (Dica: aplique o TVI para dois intervalos distinios).

Passo 1

O que o exercício pede: mostrar que a função h(x)=x^{2}-\cos(x) admite duas raízes distintas em \mathbb{R}.
Informações dadas pelo enunciado: a expressão da função h(x).
Meta clara: encontrar dois pontos em \mathbb{R} que permitam aplicar um teorema de existência de raízes (ou seja, encontrar dois intervalos distintos onde h assume sinais opostos) e concluir que existem duas raízes distintas.

Passo 2

Mostrando que podemos aplicar o teorema de existência de raízes: continuidade de h.
Explicação didática da continuidade que precisamos: uma função é contínua em um ponto se não houver “salto” — formalmente, se o limite quando x tende ao ponto é igual ao valor da função ali. Para aplicar o teorema do valor intermediário precisamos que a função seja contínua em um intervalo fechado.
Por que h é contínua em \mathbb{R}: a função x\mapsto x^{2} é um polinômio, logo contínua em todo \mathbb{R}. A função x\mapsto \cos(x) é contínua em todo \mathbb{R}. A diferença de funções contínuas é contínua. Portanto h(x)=x^{2}-\cos(x) é contínua em todo \mathbb{R}.
Comentário amigo: isso significa que, em qualquer intervalo fechado, h não tem saltos e se mudar de sinal é porque necessariamente cruza o zero em algum ponto interno.

Passo 3

Avaliar h em pontos simples e verificar sinais (sem precisar de calculadora):
Calcule h(0): h(0)=0^{2}-\cos(0)=-\cos(0)=-1, portanto h(0)=-1<0.
Calcule h(1): h(1)=1^{2}-\cos(1)=1-\cos(1). Sabemos que para todo x vale \cos(x)\le 1 e a igualdade \cos(x)=1 ocorre somente quando x=2k\pi para algum inteiro k. Como 1 não é um múltiplo de 2\pi, temos \cos(1)<1. Portanto 1-\cos(1)>0, ou seja, h(1)>0.
Calcule h(-1): usando \cos par, \cos(-1)=\cos(1). Assim h(-1)=(-1)^{2}-\cos(-1)=1-\cos(1)=h(1)>0.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e concluindo a existência das raízes:
Enunciado do TVI (intuição e versão usada): se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b] e os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Aplicação ao nosso caso: já mostramos que h é contínua. Em [0,1] temos h(0)=-1<0 e h(1)>0; como h(0)\cdot h(1)<0, o TVI garante a existência de um c_{1}\in(0,1) com h(c_{1})=0. Em [-1,0] temos h(-1)>0 e h(0)<0; como h(-1)\cdot h(0)<0, o TVI garante a existência de um c_{2}\in(-1,0) com h(c_{2})=0.
Os intervalos (-1,0) e (0,1) são disjuntos, logo c_{1} e c_{2} são raízes distintas.

Passo 5

Observação adicional (útil para prova rápida): a função h é par, pois h(-x)=(-x)^{2}-\cos(-x)=x^{2}-\cos(x)=h(x). Assim, se existe uma raiz positiva c_{1}\in(0,1), automaticamente -c_{1} é raiz em (-1,0). Essa simetria explica por que encontramos uma raiz em cada intervalo simétrico ao redor de zero.
Mensagem amiga: então já era — encontramos garantidamente duas raízes, uma negativa e a outra positiva, perto de zero.

Resposta

Existem pelo menos duas raízes distintas: uma em (-1,0) e outra em (0,1).

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