(2.0) Encontre as assíntotas horizontais e verticais da funçăo
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede:
- Encontrar as assíntotas horizontais;
- Encontrar as assíntotas verticais.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Ambas são polinômios de grau
(o maior expoente em numerador e denominador é ).
Passo 2
Explicação didática sobre assíntota horizontal: uma reta
é assíntota horizontal de
se
ou seja, a função tende para um valor finito quando
cresce (positiva ou negativamente) muito. Para funções racionais, uma regra prática:
- Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador,
é assíntota horizontal. - Se os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador é maior que o do denominador por exatamente
, pode haver uma assíntota oblíqua; se for maior por mais de 1, não há assíntota linear.
Aqui os graus são iguais (
e
), então a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes de
:
. Vou mostrar o limite dividindo numerador e denominador por
:
Explicação das etapas do limite: quando
, os termos
,
,
e
tendem a
. Sobram os coeficientes dos
,
.
Portanto há uma assíntota horizontal
.
Passo 3
Explicação didática sobre assíntotas verticais: uma reta vertical
é assíntota vertical se ao nos aproximarmos de
a função explode, isto é, um dos limites laterais é
ou
. Para funções racionais, pontos candidatos são as raízes do denominador (onde o denominador se anula). Se em
o denominador é zero e o numerador não é zero, normalmente temos assíntota vertical em
. Se numerador e denominador anulam simultaneamente, pode haver um ponto removível (buraco) ou uma simplificação; então é preciso verificar.
Aplicamos isso ao denominador
. Vamos achar as raízes resolvendo a equação
Dividindo por
(para simplificar):
Fatorizando:
Logo as soluções são
e
.
Passo 4
Agora verificamos se o numerador se anula nesses pontos (para saber se é uma assíntota vertical ou um buraco):
Calcule o numerador em
:
Calcule o numerador em
:
Como o denominador zera em
e
e o numerador nesses pontos é diferente de zero, cada um desses pontos gera uma assíntota vertical.
Passo 5
(Sugestão didática sobre comportamento próximo às assíntotas) Podemos ver o sinal da função perto de cada assíntota observando os fatores. Escrevendo a função com fatores do denominador:
Como o numerador é positivo em
e em
(já calculado), o sinal da função perto das assíntotas é dado pelo sinal de
. Assim, por exemplo:
- À esquerda de
(mas maior que ), e então denominação negativa quando . - À direita de
, quando . - À esquerda de
, ambos fatores negativos denominação positiva quando . - À direita de
(entre e ), denominação negativa quando .
Esses detalhes não eram pedidos explicitamente, mas ajudam a entender o comportamento da função junto às assíntotas.
Resposta
Horizontal:
Verticais: e
Verticais: