(2.0) Encontre as assíntotas horizontais e verticais da funçăo q(x)=\frac{5 x^{2}+2 x+8}{2 x^{2}+10 x-12}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional q(x)=\dfrac{5 x^{2}+2 x+8}{2 x^{2}+10 x-12} e pede:
  • Encontrar as assíntotas horizontais;
  • Encontrar as assíntotas verticais.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Numerador: 5 x^{2}+2 x+8.
  • Denominador: 2 x^{2}+10 x-12.
  • Ambas são polinômios de grau 2 (o maior expoente em numerador e denominador é 2).

Passo 2

Explicação didática sobre assíntota horizontal: uma reta y=L é assíntota horizontal de q se
\lim_{x\to+\infty} q(x)=L\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} q(x)=L,
ou seja, a função tende para um valor finito quando x cresce (positiva ou negativamente) muito. Para funções racionais, uma regra prática:
  • Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, y=0 é assíntota horizontal.
  • Se os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador é maior que o do denominador por exatamente 1, pode haver uma assíntota oblíqua; se for maior por mais de 1, não há assíntota linear.
Aqui os graus são iguais ( 2 e 2), então a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes de x^{2}: \dfrac{5}{2}. Vou mostrar o limite dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\lim_{x\to\pm\infty} q(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5+\tfrac{2}{x}+\tfrac{8}{x^{2}}}{2+\tfrac{10}{x}-\tfrac{12}{x^{2}}}=\frac{5}{2}.
Explicação das etapas do limite: quando x\to\pm\infty, os termos \tfrac{2}{x}, \tfrac{8}{x^{2}}, \tfrac{10}{x} e \tfrac{12}{x^{2}} tendem a 0. Sobram os coeficientes dos x^{2}, \tfrac{5}{2}.
Portanto há uma assíntota horizontal y=\dfrac{5}{2}.

Passo 3

Explicação didática sobre assíntotas verticais: uma reta vertical x=a é assíntota vertical se ao nos aproximarmos de a a função explode, isto é, um dos limites laterais é +\infty ou -\infty. Para funções racionais, pontos candidatos são as raízes do denominador (onde o denominador se anula). Se em x=a o denominador é zero e o numerador não é zero, normalmente temos assíntota vertical em x=a. Se numerador e denominador anulam simultaneamente, pode haver um ponto removível (buraco) ou uma simplificação; então é preciso verificar.
Aplicamos isso ao denominador 2 x^{2}+10 x-12. Vamos achar as raízes resolvendo a equação
2 x^{2}+10 x-12=0.
Dividindo por 2 (para simplificar):
x^{2}+5x-6=0.
Fatorizando:
x^{2}+5x-6=(x+6)(x-1).
Logo as soluções são x=1 e x=-6.

Passo 4

Agora verificamos se o numerador se anula nesses pontos (para saber se é uma assíntota vertical ou um buraco):
Calcule o numerador em x=1:
5(1)^{2}+2(1)+8=5+2+8=15\neq 0.
Calcule o numerador em x=-6:
5(-6)^{2}+2(-6)+8=5\cdot 36-12+8=180-12+8=176\neq 0.
Como o denominador zera em x=1 e x=-6 e o numerador nesses pontos é diferente de zero, cada um desses pontos gera uma assíntota vertical.

Passo 5

(Sugestão didática sobre comportamento próximo às assíntotas) Podemos ver o sinal da função perto de cada assíntota observando os fatores. Escrevendo a função com fatores do denominador:
q(x)=\frac{5 x^{2}+2 x+8}{2(x-1)(x+6)}.
Como o numerador é positivo em x=1 e em x=-6 (já calculado), o sinal da função perto das assíntotas é dado pelo sinal de (x-1)(x+6). Assim, por exemplo:
  • À esquerda de x=1 (mas maior que -6), (x-1)<0 e (x+6)>0 então denominação negativa \Rightarrow q(x)\to -\infty quando x\to 1^{-}.
  • À direita de x=1, q(x)\to +\infty quando x\to 1^{+}.
  • À esquerda de x=-6, ambos fatores negativos \Rightarrow denominação positiva \Rightarrow q(x)\to +\infty quando x\to -6^{-}.
  • À direita de x=-6 (entre -6 e 1), denominação negativa \Rightarrow q(x)\to -\infty quando x\to -6^{+}.
Esses detalhes não eram pedidos explicitamente, mas ajudam a entender o comportamento da função junto às assíntotas.

Resposta

Horizontal: y=\dfrac{5}{2}
Verticais: x=1 e x=-6

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