(2.0) Determine L para que a funçīo abaixo seja contínua no ponto \mathrm{x}=0 :
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\operatorname{tg}(x)-\operatorname{sen}(x)}{x^{5}+4 x^{3}} & , \operatorname{sec} x \neq 0 \\\\ 1, & , \operatorname{sec} x=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede determinar um valor L tal que a função f seja contínua em x=0. As informações dadas são:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\operatorname{tg}(x)-\operatorname{sen}(x)}{x^{5}+4 x^{3}} & ,\\ \operatorname{sec} x \neq 0\\[6pt] 1 & ,\\ \operatorname{sec} x=0 \end{array}\right.
Observações extraídas do enunciado:
  • A condição \operatorname{sec} x\neq 0 significa \cos x\neq 0. Em particular, em x=0 temos \cos 0=1, então a definição por fração é a que vale arbitrariamente perto de 0 (exceto no próprio x=0 onde a fração dá forma 0/0).
  • Portanto, a função no ponto x=0 não está definida explicitamente pelo enunciado (a fração é indeterminada em 0). O número L é o valor que devemos atribuir a f(0) para que f fique contínua em 0.
  • Para f ser contínua em 0 precisamos que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(x)-\operatorname{sen}(x)}{x^{5}+4 x^{3}}=L.]

Passo 2

Explico a estratégia: para calcular \lim_{x\to 0} de uma expressão trigonométrica que dá indeterminação 0/0, uma técnica eficiente é usar as séries de Taylor (Maclaurin) de \operatorname{sen} x, \cos x e \operatorname{tg} x até termos suficientes em potência de x para que a indeterminação seja eliminada por cancelamento. Vou lembrar e justificar as séries que precisamos.

Passo 3

Séries de Taylor (Maclaurin) que usamos (explicação rápida):
  • A série de \operatorname{sen} x em torno de 0 é
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + O(x^{7}) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + O(x^{7}).
Aqui O(x^{7}) significa termos de ordem x^{7} ou maiores, que tendem a 0 mais rápido quando x\to0.
  • A série de \cos x em torno de 0 é
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O(x^{6}).
Essas séries são clássicas e decorrem das derivadas em 0 ou podem ser memorizadas — se quiser eu mostro a derivação, mas aqui basta aceitar essas formas.

Passo 4

Agora precisamos da série de \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Para isso dividimos as séries (ou usamos a série conhecida). Faço a divisão truncada para obter termos até x^{5}:
\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{x - \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{5}}{120} + O(x^{7})}{1 - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{4}}{24} + O(x^{6})}.
Para dividir, procuramos uma série a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots tal que, ao multiplicar por \cos x, recupere \operatorname{sen} x. O resultado conhecido (ou obtido pela divisão) é:
\operatorname{tg} x = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2x^{5}}{15} + O(x^{7}).
Se você quiser, dá para verificar multiplicando \left(x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2x^{5}}{15}\right) por \cos x e confirmando que dá \operatorname{sen} x até ordem x^{5}.

Passo 5

Agora calculamos o numerador da fração:
\operatorname{tg}x - \operatorname{sen}x.
Substituindo as séries:
\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x = \left(x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2x^{5}}{15} + O(x^{7})\right) - \left(x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + O(x^{7})\right).
Fazendo a subtração termo a termo:
  • Os termos x se cancelam: x-x=0.
  • Para x^{3}: \dfrac{x^{3}}{3} - \left(-\dfrac{x^{3}}{6}\right) = \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{3}}{6} = \dfrac{1}{2}x^{3}.
  • Para x^{5}: \dfrac{2}{15}x^{5} - \dfrac{1}{120}x^{5} = \left(\dfrac{16}{120}-\dfrac{1}{120}\right)x^{5}=\dfrac{15}{120}x^{5}=\dfrac{1}{8}x^{5}.
    Portanto
\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x = \frac{1}{2}x^{3} + \frac{1}{8}x^{5} + O(x^{7}).

Passo 6

O denominador é simples de manipular:
x^{5}+4x^{3}=x^{3}\bigl(4+x^{2}\bigr).
Então a fração fica
\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x}{x^{5}+4x^{3}} = \frac{\dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{1}{8}x^{5} + O(x^{7})}{x^{3}\bigl(4+x^{2}\bigr)}.
Como x\neq 0 quando estamos calculando o limite (apenas nos aproximamos de 0), podemos cancelar x^{3}:
\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x}{x^{5}+4x^{3}} = \frac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}x^{2} + O(x^{4})}{4 + x^{2}}.
Agora tomamos o limite x\to 0. Os termos com x^{2} e superiores vão para 0, então:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x}{x^{5}+4x^{3}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{4} = \frac{1}{8}.

Passo 7

Conclusão lógica: para que f seja contínua em 0 precisamos definir f(0)=L igual ao limite calculado. Logo L deve ser \dfrac{1}{8}. Força aí — pronto, o valor que deixa f contínua em 0 é simples e bonito!

Resposta

\dfrac{1}{8}

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