1. Considere a função f(x)=x-2x^2, x neq 0.
    (a) [1,0 pto] Determine os pontos críticos de f e os intervalos onde f é crescente e decrescente.
    (b) [1,0 pto ] Determine os pontos de inflexão de f e os intervalos onde a concavidade de f é para cima e para baixo.
    (c) [2,0 ptos] Esboce o gráfico de f identificando suas raízes, assíntotas (verticais e horizontais), pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos) e pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x-2x^2, xneq0,
com domínio Rsetminus0. Vamos usar derivadas para obter os pontos críticos, monotonicidade, concavidade e pontos de inflexão, além de identificar raízes e assíntotas para esboçar o gráfico.

Passo 2

Calcular f'(x) e achar pontos críticos e monotonicidade.
Escrevendo
f(x)=x^-1-2x^-2,
temos
f'(x)=-x^-2+4x^-3=-x+4x^3
O numerador se anula em -x+4=0implies x=4. A derivada não existe em x=0, mas 0 está fora do domínio.
Analisando o sinal de f'(x):
  • Em (-infty,0): numerador >0, denominador <0 implies f'<0.
  • Em (0,4): numerador >0, denominador >0 implies f'>0.
  • Em (4,infty): numerador <0, denominador >0 implies f'<0.
    Logo, f é decrescente em (-infty,0), crescente em (0,4) e decrescente em (4,infty). Há um máximo relativo em x=4, com
f(4)=4-24^2=18

Passo 3

Calcular f''(x) e achar ponto de inflexão e concavidade.
Da expressão f'(x)=-x^-2+4x^-3 vem
f''(x)=2x^-3-12x^-4 =2x-12x^4 =2(x-6)x^4
Anulando f''(x)=0 obtemos x=6.
Sinal de f''(x):
  • Em (-infty,0): x-6<0, denom >0 implies f''<0.
  • Em (0,6): x-6<0, denom >0 implies f''<0.
  • Em (6,infty): x-6>0, denom >0 implies f''>0.
    Assim, há ponto de inflexão em x=6, com
f(6)=6-26^2=19,
concavidade para baixo em (-infty,6)setminus0 e para cima em (6,infty).

Passo 4

Determinar raízes e assíntotas.
Raiz de f(x)=0 ocorre quando x-2=0, isto é, x=2.
Assíntota vertical em x=0 pois
limxto0^pmf(x) =limxto0^pmx-2x^2=-infty
Assíntota horizontal em y=0 pois
limxtopminftyf(x)=0

Passo 5

Classificação de extremos e inflexão no gráfico.
  • Máximo relativo em l(4,tfrac18r).
  • Não há mínimo relativo no domínio.
  • Ponto de inflexão em l(6,tfrac19r).

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Para xto-infty, f(x)to0^- e decresce até -infty em xto0^-.
  • No ramo x>0: parte de -infty em 0^+, cresce, cruza o eixo em (2,0), atinge máximo em l(4,tfrac18r), depois decresce, muda de concavidade em l(6,tfrac19r) e tende a 0^+ em xto+infty.

Resposta

(a) Pontos críticos: x=4.
f é decrescente em (-infty,0)cup(4,infty) e crescente em (0,4).
(b) Ponto de inflexão em x=6.
Concavidade para baixo em (-infty,6)setminus0 e para cima em (6,infty).
(c) Raiz em x=2; assíntotas vertical x=0 e horizontal y=0; máximo relativo em l(4,tfrac18r); ponto de inflexão em l(6,tfrac19r). O esboço segue as características descritas no Passo 6.

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