- Considere a função
.
(a) [1,0 pto] Determine os pontos críticos de
e os intervalos onde
é crescente e decrescente.
(b)
pto
Determine os pontos de inflexão de
e os intervalos onde a concavidade de
é para cima e para baixo.
(c) [2,0 ptos] Esboce o gráfico de
identificando suas raízes, assíntotas (verticais e horizontais), pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos) e pontos de inflexão.
(a) [1,0 pto] Determine os pontos críticos de
(b)
(c) [2,0 ptos] Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado fornece a função
com domínio
. Vamos usar derivadas para obter os pontos críticos, monotonicidade, concavidade e pontos de inflexão, além de identificar raízes e assíntotas para esboçar o gráfico.
Passo 2
Calcular
e achar pontos críticos e monotonicidade.
Escrevendo
Escrevendo
temos
O numerador se anula em
. A derivada não existe em
, mas
está fora do domínio.
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Em
: numerador , denominador . - Em
: numerador , denominador . - Em
: numerador , denominador .
Logo,é decrescente em , crescente em e decrescente em . Há um máximo relativo em , com
Passo 3
Calcular
e achar ponto de inflexão e concavidade.
Da expressão vem
Da expressão
Anulando
obtemos
.
Sinal de :
Sinal de
- Em
: , denom . - Em
: , denom . - Em
: , denom .
Assim, há ponto de inflexão em, com
concavidade para baixo em
e para cima em
.
Passo 4
Determinar raízes e assíntotas.
Raiz de ocorre quando
, isto é,
.
Assíntota vertical em pois
Raiz de
Assíntota vertical em
Assíntota horizontal em
pois
Passo 5
Classificação de extremos e inflexão no gráfico.
- Máximo relativo em
. - Não há mínimo relativo no domínio.
- Ponto de inflexão em
.
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- Para
, e decresce até em . - No ramo
: parte de em , cresce, cruza o eixo em , atinge máximo em , depois decresce, muda de concavidade em e tende a em .
Resposta
(a) Pontos críticos:
.
é decrescente em
e crescente em
.
(b) Ponto de inflexão em .
Concavidade para baixo em e para cima em
.
(c) Raiz em ; assíntotas vertical
e horizontal
; máximo relativo em
; ponto de inflexão em
. O esboço segue as características descritas no Passo 6.
(b) Ponto de inflexão em
Concavidade para baixo em
(c) Raiz em