1. [2,0 ptos ] Determine os máximos e mínimos absolutos de p(x)=x^3-12 x no intervalo [-3,1].

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache os máximos e mínimos absolutos da função p(x)=x^3-12x no intervalo [-3,1]. O conteúdo aqui é cálculo de extremos de uma função diferenciável em intervalo fechado, que envolve ( 1) encontrar pontos críticos via derivada e ( 2) avaliar também as extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de p:
p'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)
Para achar os pontos críticos, igualamos p'(x)=0, obtendo
x^2-4=0Longrightarrow x=pm2
Destes, apenas x=-2 pertence ao intervalo [-3,1].

Passo 3

Agora avaliamos p nos pontos x=-3, x=-2 e x=1:
p(-3)=(-3)^3-12(-3)=-27+36=9,
p(-2)=(-2)^3-12(-2)=-8+24=16,
p(1)=1^3-12cdot1=1-12=-11

Passo 4

Comparando os valores:
  • Em x=-2 temos p(-2)=16, que é o maior entre 9, 16 e -11.
  • Em x=1 temos p(1)=-11, que é o menor.

Resposta

O máximo absoluto de p em [-3,1] é 16, atingido em x=-2.
O mínimo absoluto de p em [-3,1] é -11, atingido em x=1.

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