Seja
contínua tal que
e
, então existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
com as condições
e pede para mostrarmos que existe
tal que
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
Como
é contínua em
e a função identidade
também é contínua, segue que
é contínua em
. Além disso,
Passo 3
Se
, então
e já temos um ponto fixo. Se
, então
. Caso contrário,
e
, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Daí segue
Resposta
Portanto, existe
tal que
.