Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} contínua tal que f(a) \geq a e f(b) \leq b, então existe x_{0} \in(a, b) tal que f\left(x_{0}\right)=x_{0}.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:[a,b]\to\mathbb{R} com as condições
f(a)\ge a \quad\text{e}\quad f(b)\le b,
e pede para mostrarmos que existe x_{0}\in(a,b) tal que f(x_{0})=x_{0}. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x)=f(x)-x.
Como f é contínua em [a,b] e a função identidade x\mapsto x também é contínua, segue que g é contínua em [a,b]. Além disso,
g(a)=f(a)-a\ge0 \quad\text{e}\quad g(b)=f(b)-b\le0.

Passo 3

Se g(a)=0, então f(a)=a e já temos um ponto fixo. Se g(b)=0, então f(b)=b. Caso contrário, g(a)>0 e g(b)<0, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe x_{0}\in(a,b) tal que
g(x_{0})=0.
Daí segue
f(x_{0})-x_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_{0})=x_{0}.

Resposta

Portanto, existe x_{0}\in(a,b) tal que f(x_{0})=x_{0}.

Exercícios relacionados